Questão 3 Unicamp 2025 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 3

Lançamento não Vertical Definição de Pressão

O Ingenuity, enviado ao planeta Marte pela NASA, foi o primeiro helicóptero, de pequenas dimensões, a operar fora da atmosfera terrestre. Na superfície de Marte, a aceleração gravitacional tem módulo dado por $g_{M a r t e} ≃ 4 m / s^{2}$ , e a pressão atmosférica é muito menor do que na superfície da Terra. Isso impõe desafios adicionais ao voo de pequenos helicópteros, hoje de uso corriqueiro na atmosfera terrestre (drones).

a) Um pequeno helicóptero desloca-se em movimento horizontal, retilíneo e uniforme, com velocidade de módulo $v_{0} = 6, 0 m / s$ e a uma altura $h = 8, 0 m$ a partir da superfície de Marte. Em dado momento, o helicóptero solta uma pequena massa que carregava, deixando-a cair livremente. Qual é o deslocamento horizontal dessa pequena massa desde que se desprendeu do helicóptero até atingir o solo marciano?

b) A força de sustentação de um helicóptero é proporcional à diferença de pressão $∆ P$ entre as partes inferior e superior da héli ce. Um pequeno helicóptero, em dada condição de operação, sustenta uma massa total mTerra = 800 g, incluindo seu próprio peso, permanecendo em movimento horizontal, retilíneo e uniforme, na atmosfera terrestre. Considere que esse helicóptero seja colocado para operar em Marte. Assuma, por simplicidade, que a diferença de pressão entre as partes inferior e superior da hélice, na mesma condição de operação, seja proporcional à própria pressão atmosférica, ou seja: $\frac{△ P_{M a r t e}}{△ P_{T e r r a}} = \frac{P_{M a r t e}}{P_{T e r r a}}$ . Sendo $P_{T e r a} = 160 P_{M a r t e}$ , calcule a massa $m_{M a r t e}$ que o helicóptero sustentaria em movimento horizontal, retilíneo e uniforme, na atmosfera de Marte.

Resolução

a) Como o helicóptero está em movimento retilíneo (horizontal) e uniforme, no momento que a massa é solta ela é lançada horizontalmente em relação ao solo do planeta, lembrando que os movimentos vertical, sob a ação exclusiva da gravidade, e o movimento horizontal são independentes e simultâneos, portanto, o tempo de queda, movimento uniformemente variado, é o mesmo tempo que a massa se move na direção horizontal, movimento uniforme.

Na direção vertical, o tempo de queda de uma altura $Δ h = 8 m$ é detreminado por:

$Δ h = \frac{g \cdot t^{2}}{2} \Rightarrow t^{2} = \frac{2 \cdot Δ h}{g} \Rightarrow t^{2} = \frac{2 \cdot 8}{4} \Rightarrow t = 2 s .$

Portanto, na direção horizontal, com velocidade constante $v_{0} = 6 m / s$ , a massa percorre o seguinte deslocamento.

$Δ x = v_{0} \cdot t \Rightarrow Δ x = 6 \cdot 2 \Rightarrow Δ x = 12 m .$

b) Para um voo horizontal, a força resultante na direção vertical deve ser nula, portanto a intensidade da força de sustentação deve ser igual a intensidade da força peso, no enunciado é informado que "A força de sustentação de um helicóptero é proporcional à diferença de pressão ∆P entre as partes inferior e superior da hélice", contudo, podemos escrever as seguintes relações:

$\{\begin{cases} F_{S U S} = P e s o \\ Δ P = k \cdot F_{S U S} \end{cases}$

onde $F_{S U S}$ é a força de sustentação e k é uma constante de proporcionalidade, usando as informaçnoes dadas no enunciado (P_Terra= 160 P_Marte) , tem-se:

$\frac{Δ P_{M a r t e}}{Δ P_{T e r r a}} = \frac{P_{M a r t e}}{P_{T e r r a}} \Rightarrow \frac{k \cdot F_{s u s, M a r t e}}{k \cdot F_{s u s, T e r r r a}} = \frac{P_{M a r t e}}{160 \cdot P_{M a r t e}} \Rightarrow \frac{m_{M a r t e} \cdot g_{M a r t e}}{m_{T e r r a} \cdot g_{T e r r a}} = \frac{1}{160} \Rightarrow \frac{m_{M a r t e} \cdot 4}{0, 8 \cdot 10} = \frac{1}{160} \Rightarrow m_{M a r t e} = 1, 25 \cdot 10^{- 2} kg .$