Questão 3 Unicamp 2025 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 3

Média Aritmética Média Ponderada

O Professor Eduardo está lecionando a disciplina “Matemática Avançada” para uma turma composta por 4 alunos. As notas dos(as) alunos(as), que vão de 0 a 10 em cada uma das provas, estão indicadas na tabela abaixo. O professor precisa decidir como utilizará as notas das provas para compor a nota final $N$ dos alunos. Serão aprovados(as) os(as) alunos(as) que tiverem nota final $N \geq 5$ .

a) Considerando que o professor decidiu calcular a nota final dos estudantes usando a média aritmética das notas das provas, indique na tabela abaixo, para cada aluno(a), a nota final $N$ e se foi ou não aprovado(a).

b) Eduardo decide utilizar a média ponderada para calcular a nota final, sendo que o peso da Prova 1 será $k$ , o peso da Prova 2 será 1, e o peso da Prova 3 será $m$ . O professor deixa para os estudantes a tarefa de decidir os pesos $k$ e m com a condição de que tais pesos estejam no conjunto {1,2,3,4,5,6}. Os estudantes decidem escolher valores de $k$ e de $m$ que garantam a aprovação de todos da turma. Nesse caso, quais são os possíveis valores de $k$ e $m$ ?

Campo de resolução

Resolução

a) Calculando a média aritmética de cada aluno:

AMÉLIA: $M_{A} = \frac{9 + 8 + 10}{3} = 9$
BRUNO: $M_{B} = \frac{3 + 2 + 6}{3} = \frac{11}{3} = 3, 66 . . .$
LAURA: $M_{L} = \frac{5 + 4 + 7}{3} = \frac{16}{3} = 5, 33 . . .$
MÁRIO: $M_{M} = \frac{1 + 3 + 7}{3} = \frac{11}{3} = 3, 66 . . .$

Sabendo que os alunos aprovados são aqueles que têm nota final maior ou igual a 5, segue a tabela preenchida:

b) Para se calcular a média ponderada, precisamos substituir as notas de cada um nessa fórmula:

$N = \frac{k \cdot p r o v a 1 + 1 \cdot p r o v a 2 + m \cdot p r o v a 3}{k + 1 + m}$

Assim:

AMÉLIA: $N_{A} = \frac{9 \cdot k + 8 \cdot 1 + 10 \cdot m}{k + m + 1}$
BRUNO: $N_{B} = \frac{3 \cdot k + 2 \cdot 1 + 6 \cdot m}{k + m + 1}$
LAURA: $N_{L} = \frac{5 \cdot k + 4 \cdot 1 + 7 \cdot m}{k + m + 1}$
MÁRIO: $N_{M} = \frac{1 \cdot k + 3 \cdot 1 + 7 \cdot m}{k + m + 1}$

Como todos precisam ser aprovados, e sendo $k$ e $m$ números positivos, então:

(1) $N_{A} \geq 5$ :

$\frac{k \cdot 9 + 1 \cdot 8 + m \cdot 10}{k + 1 + m} \geq 5 \Leftrightarrow 9 k + 8 + 10 m \geq 5 k + 5 + 5 m \Leftrightarrow 4 k + 5 m \geq - 3$

Como $k$ e $m$ são elementos do conjunto ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , essa inequação é sempre satisfeita.

(2) $N_{B} \geq 5$ :

$\frac{k \cdot 3 + 1 \cdot 2 + m \cdot 6}{k + 1 + m} \geq 5 \Leftrightarrow 3 k + 2 + 6 m \geq 5 k + 5 + 5 m \Leftrightarrow m - 2 k \geq 3$

(3) $N_{L} \geq 5$ :

$\frac{k \cdot 5 + 1 \cdot 4 + m \cdot 7}{k + 1 + m} \geq 5 \Leftrightarrow 5 k + 4 + 7 m \geq 5 k + 5 + 5 m \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{2}$

Como $m$ é elementos do conjunto ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , essa inequação é sempre satisfeita.

(4) $N_{M} \geq 5$ :

$\frac{k \cdot 1 + 1 \cdot 3 + m \cdot 7}{k + 1 + m} \geq 5 \Leftrightarrow k + 3 + 7 m \geq 5 k + 5 + 5 m \Leftrightarrow 2 m - 4 k \geq 2 \Leftrightarrow m - 2 k \geq 1$

Desse modo, pelas inequações (2) e (4), que devem ser satisfeitas simultaneamente, concluímos que:

$m - 2 k \geq 3 \Leftrightarrow m \geq 2 k + 3$

Daí:

i. para $k = 1$ : $m \geq 2 \cdot 1 + 3 \Leftrightarrow m \geq 5$ .

Portanto, como $m \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , $m = 5$ ou $m = 6$ .

ii. para $k \geq 2$ : $m \geq 2 k + 3 \geq 2 \cdot 2 + 3 = 7$ .

Como $m$ é elemento do conjunto ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , não existe valor para $m$ que satisfaça a inequação.

Assim, os possíveis valores de $k$ e $m$ são:

$\{\begin{cases} k = 1 \\ m = 5 \end{cases}$ ou $\{\begin{cases} k = 1 \\ m = 6 \end{cases}$