Questão 3 Unicamp 2025 - 2ª fase - dia 2

a) Do enunciado, temos o seguinte sistema linear:

$\left\{\begin{array}{ll}x+y+z=9 & \left(i\right)\\ x+z=6& \left(ii\right)\\ y+z=3& \left(iii\right)\end{array}\right.$

Operando com as equações do sistema, encontramos:

$\begin{array}{c}\left(i\right)-\left(ii\right) \Rightarrow y=3 \\ \left(i\right)-\left(iii\right) \Rightarrow x=6\end{array}$

Substituindo em $\left(i\right)$:

$6+3+z=9 \iff z=0$

Portanto, a senha do cadeado é $\boxed{\left(6,3,0\right)}$.

b) Para o caso em que o código é $\left(6, 2, c\right)$, temos um novo sistema linear:

$\left\{\begin{array}{ll}x+y+z=6 & \left(i\right)\\ x+z=2& \left(ii\right)\\ y+z=c& \left(iii\right)\end{array}\right.$

Temos que

$\left(i\right)-\left(ii\right) \Rightarrow y=4$

De posse dessa informação, podemos reduzir o sistema a apenas duas equações:

$\left\{\begin{array}{l}x+z=2\\ 4+z=c\end{array} \Rightarrow \right.\left\{\begin{array}{l}x+z=2\\ z=c-4\end{array} \right.$

Ora, como $x$ e $z$ são dígitos de $0$ até $9$, só há três soluções para a equação $x+z=2$:

$$\begin{gathered} x=0 \text{e} z=2 \\ x=1 \text{e} z=1 \\ x=2 \text{e} z=0 \end{gathered}$$

o que resulta em três possíveis senhas para o cadeado:

$\left(0, 4, 2\right)$, $\left(1, 4, 1\right)$ ou $\left(2, 4, 0\right)$.

Observação: Como não há qualquer restrição sobre o valor de $c$, a equação $z=c-4$ é irrelevante para a contagem de soluções, uma vez que $c$ pode assumir um valor adequado para cada uma das três soluções:

$$\begin{gathered} z=2 \Rightarrow c=6 \\ z=1 \Rightarrow c=5 \\ z=0 \Rightarrow c=4 \end{gathered}$$