Questão 4 Unicamp 2025 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Relações Métricas e Trigonométricas no Triângulo Retângulo Função Quadrática

A trave de equilíbrio é um aparelho de ginástica artística, no qual a atleta deve se equilibrar enquanto realiza movimentos coreográficos, saltos e giros. A Figura 1 representa a trave de equilíbrio. A trave é paralela ao solo e os pontos A, B, e C formam um triângulo equilátero. A Figura 2 representa um dos movimentos realizados pela atleta.

a) Sabendo que a distância da trave ao solo é de 110 cm, calcule o comprimento do segmento DB.

b) A atleta realiza um salto de saída da trave, representado na Figura 2. Sabe-se que a trajetória do centro de massa da atleta é uma parábola, conforme ilustrado na figura 2. A distância horizontal entre a saída da trave e o local da aterrisagem é 125 cm e o ponto mais alto da trajetória (ponto H) é alcançado a 50 cm da saída da trave (distância horizontal). Sabe-se que no momento da saída, o centro de massa está a 189 cm do chão (ponto P1) e que no momento da aterrisagem o centro de massa da atleta está situado a 64 cm do chão (ponto P2), como mostra a figura. Calcule a maior altura atingida pelo centro de massa da atleta durante esse movimento.

Resolução

a) Projetando o ponto $B$ da trave perpendicularmente ao chão (ponto $E$ ), formamos um triângulo retângulo $B D E$ .

Como a trave é paralela ao chão, os ângulos alternos internos $A \hat{B} D$ e $B \hat{D} E$ são congruentes. Então, uma vez que o triângulo $A B C$ é equilátero, tais ângulos possuem medida $60 °$ :

Portanto, utilizando as razões trigonométricas no triângulo retângulo:

$sen 60 ° = \frac{B E}{B D} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{110}{B D} \Leftrightarrow B D = \frac{220}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$B D = \frac{220 \sqrt{3}}{3} cm$

b) A trajetória do salto (parábola) corresponde ao gráfico de uma função quadrática $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Resolução 1:

Podemos fazer uma escolha conveniente para facilitar o cálculo dos parâmetros $a$ , $b$ e $c$ da função $f$ .

Escolhemos o eixo de simetria da parábola como o eixo $y$ e o chão como o eixo $x$ . Assim, a maior altura atingida pelo centro de massa da atleta durante o movimento corresponde à ordenada do vértice da parábola $y_{V} = f (x_{V})$ .

Temos as seguintes informações:

$\{\begin{cases} x_{V} = 0 \\ f (- 50) = 189 \\ f (75) = 64 \end{cases}$

De $x_{V} = 0$ , obtemos:

$x_{V} = \frac{- b}{2 a} = 0 \Leftrightarrow b = 0$

Daí ficamos com o sistema:

$\{\begin{cases} {(- 50)}^{2} a + c = 189 \\ 75^{2} a + c = 64 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 2500 a + c = 189 \\ 5625 a + c = 64 \end{cases}$

Subtraindo a segunda equação da primeira:

$- 3125 a = 125 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{25}$

Substituindo na primeira equação:

$2500 \cdot (- \frac{1}{25}) + c = 189 \Leftrightarrow c = 289$

Portanto, a altura máxima é

$y_{V} = f (0) = 289 cm$

Resolução 2:

Podemos relacionar este exercício ao Princípio de Galileu para objetos em queda livre:

"A partir do repouso, um corpo em queda livre se desloca, durante intervalos de tempos iguais, $[0, t]$ , $[t, 2 t]$ , $[2 t, 3 t]$ , etc, distâncias diretamente proporcionais a $1, 3, 5, etc . . .$ "

Como o movimento da atleta pode ser decomposto em um movimento uniforme na direção horizontal, e um movimento uniformemente variado na direção vertical, o vértice da parábola corresponde ao ponto em que a velocidade vertical é nula (altura máxima $h$ obtida pelo centro de massa da atleta).

Os intervalos de tempos iguais estão relacionados com intervalos de mesmo tamanho no eixo $x$ (pois nessa direção temos movimento uniforme), e podemos escolhê-los como intervalos de $25 cm$ (que podem ser tomados tanto para a direita quanto para a esquerda do eixo de simetria).

Da Figura 2:

$\{\begin{cases} x_{P_{1}} = x_{V} - 2 \cdot 25 \\ x_{P_{2}} = x_{V} + 3 \cdot 25 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} h_{P_{1}} = h - k - 3 k = 189 \\ h_{P_{2}} = h - k - 3 k - 5 k = 64 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} h - 4 k = 189 \\ h - 9 k = 64 \end{cases}$

Subtraindo a segunda equação da primeira:

$5 k = 125 \Leftrightarrow k = 25 cm$

Substituindo:

$h - 4 \cdot 25 = 189 \Leftrightarrow h = 289 cm$