Questão 2 Unicamp 2025 - 2ª fase - dia 2

a) Temos:

• $f\left(g\left(1\right)\right)=f\left(1+k\right)={\left(1+k\right)}^2+\left(1+k\right)+c=1+2k+k^2+1+k+c=k^2+3k+c+2$;
• $g\left(f\left(1\right)\right)=g\left(1^2+1+c\right)=g\left(2+c\right)=\left(2+c\right)+k=k+c+2$.

Assim:

$f\left(g\left(1\right)\right)-g\left(f\left(1\right)\right)<0\iff \left(k^2+3k+c+2\right)-\left(k+c+2\right)<0\iff$

$k^2+2k<0$

Resolvendo essa inequação graficamente, segue que:

$k^2+2k<0\iff -2<k<0$

Em relação ao parâmetro $c$, como ele foi cancelado durante as contas, não há nenhuma restrição sobre ele, ou seja, ele pode assumir qualquer valor real. Assim, ficamos com:

$\boxed{\left\{\begin{array}{l}k\in ]-2,0[\\ \forall c\in \mathrm{ℝ}\end{array}\right.}$

b) Lembrando que uma equação do segundo grau tem uma única raiz real quando, e somente quando, seu discriminante ($\Delta$) é nulo. Assim., fazemos:

$\Delta =0\iff 1^2-4·1·c=0\iff c=\frac{1}{4}$

Já em relação à função $g^{-1}$, lembrando que $g\left(g^{-1}\left(x\right)\right)=x$, ficamos com:

$g\left(g^{-1}\left(x\right)\right)=x\iff g^{-1}\left(x\right)+k=x\iff g^{-1}\left(x\right)=x-k$

Assim, a equação $f\left(g^{-1}\left(x\right)\right)=\frac{1}{4}$ equivale a:

$f\left(g^{-1}\left(x\right)\right)=\frac{1}{4}\iff f\left(x-k\right)=\frac{1}{4}\iff$

${\left(x-k\right)}^2+\left(x-k\right)+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\iff x^2-2kx+k^2+x-k=0\iff$

$x^2+\left(1-2k\right)·x+\left(k^2-k\right)=0$

Para que a soma das raízes dessa equação seja 2025, fazemos:

$-\frac{\left(1-2k\right)}{1}=2025\iff 2k-1=2025\iff \boxed{k=1013}$