Questão 5 Unicamp 2025 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 5

Função Logarítmica

Atualmente, em substituição à escala Richter, a escala de magnitude e momento, denotada por $M_{w}$ , é a utilizada para estimar a magnitude de todos os grandes terremotos. Para calcular $M_{w}$ , é necessário conhecer o valor do momento sísmico, $M_{0}$ , o qual é estimado a partir de registros de sismógrafos. O valor de $M_{w}$ se relaciona com o valor de $M_{0}$ pela fórmula

$M_{w} = - 10, 7 + \frac{2}{3} \log M_{0}$

a) Qual é o menor valor de $M_{0}$ para o qual $M_{w} \geq 0$ ? Justifique.

b) Em uma dada ocorrência sísmica, verificou-se que o valor de $M_{w}$ correspondia a $\frac{1}{6} \log M_{0}$ . Nesse caso, quais são os valores de $M_{0}$ e $M_{w}$ ? Justifique.

Resolução

a) Temos que:

$M_{w} ⩾ 0 \Leftrightarrow - 10, 7 + \frac{2}{3} \cdot \log_{10} M_{0} ⩾ 0 \Leftrightarrow$

$\log_{10} M_{0} ⩾ \frac{3}{2} \cdot 10, 7 \Leftrightarrow \log_{10} M_{0} ⩾ 16, 05$

Sendo, nesse caso, a base (10) do logaritmo um número maior que 1, segue que:

$\log_{10} M_{0} ⩾ 16, 05 \Leftrightarrow M_{0} ⩾ 10^{16, 05}$

Assim, o menor valor de $M_{0}$ em questão é 10^16,05.

b) Temos as condições:

$\{\begin{cases} M_{w} = - 10, 7 + \frac{2}{3} \cdot \log M_{0} \\ M_{w} = \frac{1}{6} \cdot \log M_{0} \end{cases}$

Nesse caso, substiuindo a segunda igualdade na primeira, vem que:

$\frac{1}{6} \cdot \log_{10} M_{0} = - 10, 7 + \frac{2}{3} \cdot \log_{10} M_{0} \Leftrightarrow 10, 7 = (\frac{2}{3} - \frac{1}{6}) \cdot \log_{10} M_{0} \Leftrightarrow$

$10, 7 = \frac{1}{2} \cdot \log_{10} M_{0} \Leftrightarrow \log_{10} M_{0} = 21, 4 \Leftrightarrow M_{0} = 10^{21, 4}$

Sendo $M_{w} = \frac{1}{6} \cdot \log M_{0}$ , ficamos com:

$M_{w} = \frac{1}{6} \cdot \log M_{0} = \frac{1}{6} \cdot 21, 4 \Leftrightarrow M_{w} = \frac{107}{30} = 3, 5666 . . .$