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Questão 6 Unicamp 2025 - 2ª fase - dia 2

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Questão 6

Combinação simples Circunferência

Seja Q um quadrado de lado medindo 21 cm.

a) Considere que Q foi subdividido em 9 quadrados Q1 ,…,Q9 , cujos lados medem 7 cm. Quantos triângulos distintos podem ser formados de modo que seus vértices sejam os centros dos quadrados Q1 ,…,Q9 dessa subdivisão? Lembre-se de que dois triângulos são distintos quando seus vértices não coincidem.

b) É possível escolhermos 10 pontos em Q de modo que a distância entre quaisquer dois desses pontos seja maior do que 10 centímetros? Justifique



Resolução

a) Temos a situação ilustrada a seguir, onde A, B, C, D, E, F, G, H e I são os centros dos quadrados menores:

O número de triângulos distintos que podem ser formados corresponde ao número de possibilidades de se escolher três dentre os centros de Q1, ..., Q9, sem que a ordem de escolha seja considerada, e descontar os casos em que os centros são colineares (de modo que eles não determinariam um triângulo).

O total de escolhas de 3, dentre esses 9 pontos, sem relevância da ordem, é dada pela combinação simples de 9 elementos tomados 3 a 3:

9·8·73!=84 possibilidades

Desses 84 casos, devemos retirar os casos de centros alinhados na horizontal (ABC, DEF e GHI), na vertical (ADG, BEH e CFI) e nas diagonais (AEI e CEG). Assim, ficamos com:

84-(3+3+2)=76 possibilidades

 

b) Resolução 1:

Considerando a divisão do quadrado Q em nove quadrados de lado 7 cm proposta no item (a), observe que a maior distância entre dois pontos de um desses quadrados é a diagonal do quadrado, cuja medida é

d=72<7·1,42<10 cm

Então, é impossível colocar mais de um ponto em cada quadrado Q1, ..., Q9, de modo que a distância entre dois pontos quaisquer seja maior que 10 cm.

Portanto, é impossível escolhermos 10 pontos em Q da maneira desejada.

 

Resolução 2:

Para escolhermos pontos P1, P2, P3, ... em Q de modo que a distância entre quaisquer dois deles seja maior que 10 cm, para ji, o ponto Pj não pode pertencer à região formada pela interseção do quadrado Q e do círculo de centro Pi e raio 10 cm .

Para minimizar essas regiões (maximizando as possibilidades para escolher os demais pontos, vamos fixar os quatro pontos iniciais como vértices do quadrado:

Continuando com o princípio de minimizar a região proibida aos demais pontos, podemos escolher agora os centros dos quadrados:

Finalmente, resta apenas uma pequena região central, onde é possível escolher um único ponto P9:

Portanto, é impossível escolher 10 pontos em em Q de modo que a distância entre eles seja maior que 10 cm.