Questão 6 Unicamp 2025 - 2ª fase - dia 2

a) Temos a situação ilustrada a seguir, onde A, B, C, D, E, F, G, H e I são os centros dos quadrados menores:

O número de triângulos distintos que podem ser formados corresponde ao número de possibilidades de se escolher três dentre os centros de Q₁, ..., Q₉, sem que a ordem de escolha seja considerada, e descontar os casos em que os centros são colineares (de modo que eles não determinariam um triângulo).

O total de escolhas de 3, dentre esses 9 pontos, sem relevância da ordem, é dada pela combinação simples de 9 elementos tomados 3 a 3:

$\frac{\underline{9}·\underline{8}·\underline{7}}{3!}=84 \text{possibilidades}$

Desses 84 casos, devemos retirar os casos de centros alinhados na horizontal (ABC, DEF e GHI), na vertical (ADG, BEH e CFI) e nas diagonais (AEI e CEG). Assim, ficamos com:

$84-\left(3+3+2\right)=\boxed{76\text{ possibilidades}}$

b) Resolução 1:

Considerando a divisão do quadrado $Q$ em nove quadrados de lado $7\text{ cm}$ proposta no item (a), observe que a maior distância entre dois pontos de um desses quadrados é a diagonal do quadrado, cuja medida é

$d=7\sqrt{2}<7·1,42<10\text{ cm}$

Então, é impossível colocar mais de um ponto em cada quadrado Q₁, ..., Q₉, de modo que a distância entre dois pontos quaisquer seja maior que $10\text{ cm}$.

Portanto, é impossível escolhermos 10 pontos em $Q$ da maneira desejada.

Resolução 2:

Para escolhermos pontos $P_1, P_2, P_3, ...$ em $Q$ de modo que a distância entre quaisquer dois deles seja maior que $10\text{ cm}$, para $j\ne i$, o ponto $P_j$ não pode pertencer à região formada pela interseção do quadrado $Q$ e do círculo de centro $P_i$ e raio $10\text{ cm}$ .

Para minimizar essas regiões (maximizando as possibilidades para escolher os demais pontos, vamos fixar os quatro pontos iniciais como vértices do quadrado:

Continuando com o princípio de minimizar a região proibida aos demais pontos, podemos escolher agora os centros dos quadrados:

Finalmente, resta apenas uma pequena região central, onde é possível escolher um único ponto $P_9$:

Portanto, é impossível escolher 10 pontos em em $Q$ de modo que a distância entre eles seja maior que $10\text{ cm}$.