Questão 48 Unicamp 2025 - 1ª fase

O enunciado menciona que Márcia vai sortear um número ENTRE $1$ e $2025$. Nesse caso, os números a serem considerados são aqueles DE $2$ ATÉ $2024$, totalizando $2023$ possibilidades.

Note que $2024=3·674+2$, de modo que há $674$ números de $2$ até $2024$ que são múltiplos de $3$.

Analogamente, $2024=7·289+1$, sendo então $289$ múltiplos de $7$ que estão no intervalo de $2$ até $2024$.

Observe que os múltiplos de $21$ (menor múltiplo comum de $3$ e de $7$) estão contados duplamente.

Então, como $2024=21·96+8$, há $96$ múltiplos de $21$ no intervalo de $2$ até $2024$.

Pelo princípio da inclusão e exclusão, a quantidade de múltiplos de $3$ OU de $7$ presentes no intervalo de $2$ até $2024$ é

$$\begin{gathered} n\left(M\left\{3 ou 7\right\}\right)=n\left(M\left\{3\right\}\right)+n\left(M\left\{7\right\}\right)-n\left(M\left\{21\right\}\right) \\ n\left(M\left\{3 ou 7\right\}\right)=674+289-96=867 \end{gathered}$$

Portanto, a probabilidade de Márcia sorter um número que seja múltiplo de $3$ ou de $7$ é

$P=\frac{867}{2023}=\frac{3}{7}$

Como não há alternativa correta, sugerimos a anulação da questão.

Observação: Caso o enunciado incluísse os extremos $1$ e $2025$ fazendo menção a "números entre 1 e 2025 inclusive", ou, "números de 1 a 2025", ou alguma formulação equivalente, o total de números seria $2025$ e teríamos um número a mais dentre aqueles que são múltiplos de $3$ mas não de $7$, que é o próprio $2025=3·675$.

Nesse caso, o conjunto de múltiplos de $3$ ou de $7$ teria $868$ elementos e a probabilidade desejada seria aquela presente na alternativa (A)

$p=\frac{868}{2025}$