Questão 50 Unicamp 2025 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 50

Arco Metade

As funções trigonométricas $\cos (x)$ e $sen (x)$ são muito estudadas no Ensino Médio. A exposição deste importante conteúdo costuma contar, nas aulas, com a apresentação de gráficos e tabelas que expõem em arcos – chamados “arcos notáveis”, como por exemplo $π / 3$ , $π / 4$ e $π / 6$ – os valores dessas funções.

É possível, no entanto, calcular, em outros arcos, os valores destas funções, utilizando algumas identidades trigonométricas. Considerando a relação $\cos (x / 2) = \sqrt{(1 + \cos (x) / 2}$ e a identidade fundamental da trigonometria, é possível afirmar que o valor de $sen (π / 12)$ é

a)	$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .
b)	$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .
c)	$\frac{\sqrt{3 - \sqrt{3}}}{2}$
d)	$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{3}}}{2}$

Resolução

O enunciado nos forneceu a fórmula $\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}$ , para determinarmos o valor de $sen (\frac{π}{12})$ .

Primeiramente, vamos determinar o valor de $\cos (\frac{π}{12})$ , logo:

$\cos (\frac{π}{12}) = \cos (\frac{\frac{π}{6}}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{6})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Aplicando a relação fundamental, temos:

${sen}^{2} (\frac{π}{12}) + \cos^{2} (\frac{π}{12}) = 1$

${sen}^{2} (\frac{π}{12}) + {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2})}^{2} = 1$

${sen}^{2} (\frac{π}{12}) = 1 - \frac{(2 + \sqrt{3})}{4} = \frac{4 - 2 - \sqrt{3}}{4}$

${sen}^{2} (\frac{π}{12}) = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

$sen (\frac{π}{12}) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .