Questão 52 Unicamp 2025 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 52

Propriedades do módulo

Ana está treinando as habilidades matemáticas de seu irmão mais novo. Ela escolheu dois números reais $x$ , $y$ e avisou para seu irmão que os números satisfazem às desigualdades $| x - 2 | \leq 2$ e $e | y - 3 | \leq 1$ . O que o irmão de Ana pode concluir corretamente sobre esses números?

a)	$x^{2} + y^{2} \leq 1$ .
b)	$x + y \geq 10$ .
c)	$x + y \leq 8$ .
d)	$x^{2} + y^{2} \geq 36$ .

Resolução

Devido a desigualdade modular, temos:

$|x - 2| \leq 2 \Rightarrow - 2 \leq x - 2 \leq 2 \Rightarrow 0 \leq x \leq 4$

$|y - 3| \leq 1 \Rightarrow - 1 \leq y - 3 \leq 1 \Rightarrow 2 \leq y \leq 4$

Somando as desigualdades obtidas, segue que:

$0 + 2 \leq x + y \leq 4 + 4$

$2 \leq x + y \leq 8$

Ou seja, podemos afirmar que:

$x + y \leq 8$