Questão 54 Unicamp 2025 - 1ª fase

Sendo $f\left(x\right)=x-2$ e $g\left(x\right)=x^2-4x$, temos a função composta

$g\left(f\left(x\right)\right)={\left(x-2\right)}^2-4·\left(x-2\right)=x^2-8x+12$

Notamos que $g\left(f\left(x\right)\right)$ é uma função quadrática (do 2º grau) cujo gráfico é uma parábola de concavidade para cima. Além disso, podemos verificar, por soma e produto, que as raízes dessa função são $x_1=2$ e $x_2=6$:

$$\begin{gathered} S: 2+6=-\left(-8\right) \\ P: 2·6=12 \end{gathered}$$

Portanto, a solução da inequação $g\left(f\left(x\right)\right)<0$ para $x\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ é o conjunto $S=\left\{3, 4, 5\right\}$, o qual possui três elementos.