Questão 55 Unicamp 2025 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 55

Geometria Plana Casos de Semelhança em Triângulos

A figura a seguir mostra um triângulo ABC que contém dois quadrados em seu interior.

O segmento GH é lado de um dos quadrados e está contido no segmento AB. O segmento EF, contido no segmento AC, é lado do outro quadrado. Sabendo que AG mede 4 cm e que o lado GH do quadrado menor mede 3 cm, o comprimento do segmento EF é:

a)	$\frac{121}{20}$ .
b)	$\frac{111}{20}$ .
c)	$\frac{102}{15}$ .
d)	$\frac{98}{15}$

Resolução

Do enunciado, temos:

Perceba que por Pitágoras:

${\bar{A D}}^{2} = 3^{2} + 4^{2}$

$\bar{A D} = 5 c m$

Sejam $α$ e $β$ os ângulos agudos do triângulo ADG, e P e Q os pontos apresentados na figura a seguir. Perceba que pelo critério AA, podemos inferir que os triângulos ADG, DEQ e AEP são semelhantes.

Desta forma, nos triângulos ADG e DEQ, segue que:

$\frac{4}{5} = \frac{\bar{D E}}{3} \Rightarrow \bar{D E} = \frac{12}{5} c m$

Agora, nos triângulos ADG e AEP:

$\frac{3}{4} = \frac{L}{\bar{A E}} \Rightarrow L = \frac{3}{4} \cdot \bar{A E}$

Como $\bar{A E} = \bar{A D} + \bar{D E}$ :

$\bar{A E} = 5 + \frac{12}{5} = \frac{25 + 12}{5} = \frac{37}{5}$

Assim:

$L = \frac{3}{4} \cdot \frac{37}{5} \Rightarrow L = \frac{111}{20} c m$