Questão 56 Unicamp 2025 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 56

Progressão Aritmética

Seja ${(a_{n})}_{n \in ℕ} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots)$ uma progressão aritmética de razão $r$ e seja $(S_{1}, S_{2}, S_{3}, \dots)$ a sequência definida por $S_{n} = a_{1} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$ , isto é, o seu $n$ -ésimo termo é a soma dos $n$ primeiros termos da sequência ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ . Sabendo que 168, 220 e 279 são termos consecutivos da sequência ${(S_{n})}_{n \in ℕ}$ a razão da progressão aritmética ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ é:

a)	5.
b)	7.
c)	9.
d)	11.

Resolução

Temos a progressão aritmética ${(a_{n})}_{n} = (a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n})$ de razão $r$ e a sequência ${(s_{n})}_{n} = (s_{1}, s_{2}, . . ., s_{n})$ , tal que, $s_{n} = a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}$ .
Sabemos que 168, 220 e 279 são termos consecutivos da sequência ${(s_{n})}_{n}$ , logo:

$s_{k} = 168 \Rightarrow 168 = a_{1} + a_{2} + . . . + a_{k}$

$s_{k + 1} = 220 \Rightarrow 220 = a_{1} + a_{2} + . . . + a_{k} + a_{k + 1}$

$s_{k + 2} = 279 \Rightarrow 279 = a_{1} + a_{2} + . . . + a_{k + 1} + a_{k + 2}$

Logo, subtraindo uma da outra, temos:

$s_{k + 1} - s_{k} = 220 - 168 \Rightarrow a_{k + 1} = 52$

$s_{k + 2} - s_{k + 1} = 279 - 220 \Rightarrow a_{k + 2} = 59$

Portanto,

$r = a_{k + 2} - a_{k + 1} = 59 - 52 = 7$ .