Questão 57 Unicamp 2025 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 57

Função Quadrática

O gráfico de uma parábola de equação $y = a x^{2} + b x + c$ passa pelos pontos $P = (0, - 4)$ , $Q = (2, - 1)$ e $M = (- 2, 5)$ . O valor do produto $a \cdot b \cdot c$ é:

a)	6.
b)	7.
c)	8.
d)	9.

Resolução

Seja a parábola $y = a x^{2} + b x + c$ , e os pontos $P = (0, - 4)$ , $Q = (2, - 1)$ e $M = (- 2, 5)$ .

Aplicando cada ponto na parábola, temos:

$\{\begin{cases} - 4 = a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c \\ - 1 = a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + c \\ 5 = a \cdot {(- 2)}^{2} + b \cdot (- 2) + c \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} - 4 = c \\ - 1 = 4 a + 2 b - 4 \\ 5 = 4 a - 2 b - 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 4 = c \\ 3 = 4 a + 2 b \\ 9 = 4 a - 2 b \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 3 = 4 a + 2 b \\ 9 = 4 a - 2 b \end{cases}$

Somando as duas inequações:

$8 a = 12 \Rightarrow a = \frac{3}{2}$

Substituindo:

$4 \cdot \frac{3}{2} + 2 b = 3 \Rightarrow b = - \frac{3}{2}$

Portanto,

$a \cdot b \cdot c = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2}) \cdot (- 4) \Rightarrow a \cdot b \cdot c = 9$