Questão 58 Unicamp 2025 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 58

Funções Circulares

A poluição de rios, lagos e lagoas é um dos grandes problemas enfrentados pela sociedade moderna. Ao longo das últimas décadas, vários mecanismos têm sido utilizados para minimizar os danos causados por ela.

Uma indústria despeja numa lagoa, de forma indevida, água contaminada por um poluente a uma certa taxa. Dependendo da vazão da lagoa e da concentração do poluente, é possível verificar que a quantidade total desse contaminante na lagoa num tempo $t$ , denotada por $Q (t)$ , é dada por

$Q (t) = 20 + 2 sen (t) - 4 \cos (t),$

em que $t$ representa o tempo medido em anos e $Q (t)$ é medido em quilos. O gráfico que melhor representa a função $Q (t)$ , ou seja, a quantidade total do poluente na lagoa num tempo $t$ é:

a)
b)
c)
d)

Resolução

Resolução 1:

Como sabemos a expressão da função $Q (t)$ e estamos em uma prova objetiva, podemos proceder por eliminação de alternativas a partir do cálculo das imagens para alguns valores de $t$ .

Para $t = 0$ , temos:

$Q (0) = 20 + 2 \cdot sen (0) - 4 \cdot \cos (0) = 20 + 2 \cdot 0 - 4 \cdot 1 = 16$

Com isso, podemos eliminar as alternativas (C) e (D), que apresentam o valor $20$ como imagem de $t = 0$ .

Para $t = π \approx 3, 14$ , temos:

$Q (π) = 20 + 2 \cdot sen (π) - 4 \cdot \cos (π) = 20 + 2 \cdot 0 - 4 \cdot (- 1) = 24$

Podemos então eliminar a alternativa (B), que apresenta valor menor que $20$ para $t = π$

Portanto, por eliminação, resta apenas o gráfico da alternativa (A).

Observação 1: A análise desses pontos não valida diretamente o gráfico da alternativa (A) como correto, apenas asseguramos que aqueles das outras alternativas estão incorretos.

Observação 2: O valor $t = π$ poderia ter sido utilizado para eliminar as três alternativas incorretas, uma vez que nenhuma delas possui sequer valores maiores que $22$ e, como verificamos, $Q (π) = 24$ . Porém, costuma ser mais intuitivo começar a análise por $t = 0$ .

Resolução 2:

É possível transformar a expressão da função $Q (t)$ na expressão de uma senoide:

$Q (t) = 20 + 2 \cdot sen (t) - 4 \cdot \cos (t) Q (t) = 20 + \frac{\sqrt{2^{2} + {(- 4)}^{2}}}{\sqrt{2^{2} + {(- 4)}^{2}}} \cdot [2 \cdot sen (t) - 4 \cdot \cos (t)] Q (t) = 20 + \sqrt{20} \cdot [\frac{2}{\sqrt{20}} \cdot sen (t) - \frac{4}{\sqrt{20}} \cdot \cos (t)]$

Como o ponto $(\frac{2}{\sqrt{20}}, \frac{4}{\sqrt{20}})$ do plano cartesiano satisfaz

${(\frac{2}{\sqrt{20}})}^{2} + {(\frac{4}{\sqrt{20}})}^{2} = \frac{4}{20} + \frac{16}{20} = 1$

ele é um ponto da circunferência unitária de centro na origem, ou seja, existe um valor $t_{0}$ para o qual

$\cos (t_{0}) = \frac{2}{\sqrt{20}} e sen (t_{0}) = \frac{4}{\sqrt{20}}$

Reescrevendo então $Q (t)$ :

$Q (t) = 20 + \sqrt{20} \cdot [sen (t) \cdot \cos (t_{0}) - sen (t_{0}) \cdot \cos (t)] Q (t) = 20 + 2 \sqrt{5} \cdot sen (t - t_{0})$

Com isso, concluímos que o gráfico da função $Q (t)$ é uma senoide cuja imagem é o conjunto $[20 - 2 \sqrt{5}, 20 + 2 \sqrt{5}]$ , como aquele presente na alternativa (A).