Questão 2 Unifesp 2º dia - Reaplicação - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 2

Problemas Envolvendo Vazão, Chuva e Correlatos Sistemas Isolados com Mudança de Fase

Em um dia em que a temperatura ambiente estava elevada no litoral, uma pessoa retirou 3 litros de água a $40 º C$ de um reservatório por meio de uma torneira com vazão constante de 4,5 L/min e, para resfriar essa água, acrescentou a ela vários cubos de gelo iguais, cada um com massa de 50 g e temperatura de $- 12 º C$ , retirados de um freezer.

a) Expresse a vazão da torneira em unidades do Sistema Internacional de Unidades ( $m^{3} / s$ ) e calcule o intervalo de tempo, em segundos, em que a pessoa retirou os 3 litros de água do reservatório, utilizando essa torneira.

b) Sabe-se que o calor específico do gelo é $0, 5 cal / (g . º C)$ , que o calor específico da água líquida é $1 cal / (g . º C)$ , que o calor latente de fusão do gelo é 80 cal/g, que a densidade da água é $1 g / {cm}^{3} = 10^{3} kg / m^{3}$ , que a capacidade térmica do recipiente no qual a água foi colocada é desprezível e que não ocorreu perda de calor para o ambiente. Calcule quantos cubos de gelo foram acrescentados aos três litros de água para que, depois de atingido o equilíbrio térmico, a pessoa tivesse apenas água no estado líquido, a $22 º C$ .

Resolução

a) Para convertermos a vazão $z$ , precisamos lembrar que $1 L = 1 \cdot 10^{- 3} m^{3}$ e que $1 \min = 60 s$ . Com isso basta substituir as unidades no valor da vazão, fornecido pelo enunciado:

$z = \frac{4, 5 L}{\min} = \frac{4, 5 \cdot 10^{- 3} m^{3}}{60 s} \Rightarrow z = 0, 075 \cdot 10^{- 3} \frac{m^{3}}{s} \Rightarrow$

$z = 7, 5 \cdot 10^{- 5} \frac{m^{3}}{s} .$

Vamos utilizar a vazão nas mesmas unidades dadas pelo enunciado para determinarmos o tempo para que 3 litros de água sejam retirados do reservatório, convertendo o tempo no final. Sabendo da relação entre vazão $z$ e o intervalo de tempo $Δ t$ para que um volume $Δ V$ seja retirado, temos:

$z = \frac{Δ V}{Δ t} \Rightarrow 4, 5 \frac{L}{\min} = \frac{3 L}{Δ t} \Rightarrow Δ t = \frac{3}{4, 5} \min = \frac{2}{3} \min .$

Multiplicando por 60 para passar o tempo para segundos, temos:

$Δt = \frac{2}{3} \cdot 60 s = 40 s .$

Respostas: a vazão, no Sistema Internacional, é $7, 5 \cdot 10^{- 5} m^{3} / s$ e o tempo para obter 3 L de água é de 40 s.

b) Sendo o sistema isolado, a soma dos calores trocados será nula. Com isso:

$Σ Q = 0 \Rightarrow {(m \cdot c \cdot Δ T)}_{g e l o} + {(m \cdot L)}_{f u s ã o} + {(m \cdot c \cdot Δ T)}_{g e l o d e r r e t i d o} + {(m \cdot c \cdot Δ T)}_{á g u a r e s e r v a t ó r i o} = 0 \Rightarrow m_{g e l o} \cdot {(c_{g e l o} \cdot Δ T}_{g e l o} + L_{f u s ã o} + c_{g e l o d e r r e t i d o} \cdot Δ T_{g e l o d e r r e t i d o}) + {m_{á g u a r e s e r v a t ó r i o} \cdot c_{á g u a r e s e r v a t ó r i o} \cdot Δ T}_{á g u a r e s e r v a t ó r i o} = 0 .$

Sendo a massa de cada cubo de gelo igual à 50 g e $n$ o número de cubos de gelos, podemos fazer as seguintes substituições:

$m_{g e l o} = 50 \cdot n g; c_{g e l o} = 0, 5 cal / (g \cdot ° C); Δ T_{g e l o} = 0 - (- 12) = 12 ° C; L_{f u s ã o} = 80 cal / g; c_{g e l o d e r r e t i d o} = c_{á g u a} = 1 cal / (g \cdot ° C); Δ T_{g e l o d e r r e t i d o} = 22 - 0 = 22 ° C; m_{á g u a r e s e r v a t ó r i o} = 3 kg = 3 \cdot 10^{3} g; Δ T_{á g u a r e s e r v a t ó r i o} = 22 - 40 = - 18 ° C .$

Obtemos, então,

$n \cdot 50 \cdot (1 \cdot 12 + 80 + 1 \cdot 22) + 3 \cdot 10^{3} \cdot 1 \cdot (- 18) = 0 \Rightarrow n \cdot 50 \cdot 108 = 3 \cdot 10^{3} \cdot 18 \Rightarrow$

$n = 10 .$

Observe que a densidade da água é de 1 g/cm³ = 1 g/mL = 1000 g/L = 1 kg/L.

Resposta: o número de cubos de gelo necessário é igual à 10.