Questão 4 Unifesp 2º dia - Reaplicação - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Equação de Taylor e velocidade da onda em uma corda Refração de ondas

A figura mostra, fora de escala, duas cordas homogêneas, 1 e 2, de densidades lineares de massa $µ 1_{} e µ 2_{} = 3 µ 1_{}$ , conectadas no ponto P. Nessa figura, observa-se uma onda propagando-se para a direita na corda 1, com velocidade $v_{1}$ e frequência $f_{1}$ , antes de refratar para a corda 2, onde se propagará com velocidade e frequência $v_{2} e f_{2}$ , respectivamente.

Sabe-se que no mesmo intervalo de tempo Δt = 2 s em que essa onda percorrer o trecho de comprimento y, na corda 1, o ponto C, indicado na figura, realizará quatro oscilações completas na vertical. Sendo x a distância entre duas cristas consecutivas na corda 1 e sabendo que o sistema formado pelas duas cordas é submetido a uma força de tração de intensidade constante,

a) obtenha o valor de $f_{1}$ , em Hz, e calcule o valor da razão $\frac{y}{x}$ .

b) obtenha o valor de $f_{2}$ , em Hz, e calcule o valor da razão $\frac{v_{1}}{v_{2}}$ .

Resolução

a) Seja $T$ o período de oscilação da onda na corda 1. De acordo com o enunciado, $4 T$ ("quatro oscilações completas") corresponde a $Δ t = 2 s$ , isto é:

$4 T = 2 \Rightarrow T = 0, 5 s .$

Como a frequência é o inverso do período, temos:

$f_{1} = \frac{1}{T} \Rightarrow f_{1} = \frac{1}{0, 5} \Rightarrow$

$f_{1} = 2 Hz .$

Para calcular a razão $y / x$ , vamos utilizar a equação da velocidade para o movimento uniforme ( $v_{1} = y / Δ t \Rightarrow y = v \cdot Δ t$ ) e a equação fundamental da ondulatória ( $v = λ \cdot f$ ), obtendo:

$\frac{y}{x} = \frac{v_{1} \cdot Δ t}{λ_{1}} = \frac{λ_{1} \cdot f_{1} \cdot Δ t}{λ_{1}} \Rightarrow \frac{y}{x} = f_{1} \cdot Δ t = 2 \cdot 2 \Rightarrow$

$\frac{y}{x} = 4 .$

b) Quando uma onda muda de meio, ela pode mudar sua velocidade e, consequentemente, seu comprimento de onda. Entretanto, nesse fenômeno chamado de refração, a frequência da onda permanece inalterada, isto é:

$f_{2} = f_{1} = 2 Hz .$

Sendo $F$ o módulo da força de tração em ambas as cordas, a equação de Taylor nos permite determinar a velocidade da onda em uma corda de densidade linear $μ$ :

$v = \sqrt{\frac{F}{μ}} .$

Com isso e com dados do enunciado, podemos determinar a razão procurada:

$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{\sqrt{\frac{F}{μ_{1}}}}{\sqrt{\frac{F}{μ_{2}}}} \Rightarrow \frac{v_{1}}{v_{2}} = \sqrt{\frac{F}{μ_{1}}} \cdot \sqrt{\frac{μ_{2}}{F}} \Rightarrow \frac{v_{1}}{v_{2}} = \sqrt{\frac{μ_{2}}{μ_{1}}} = \sqrt{\frac{3 μ_{1}}{μ_{1}}} \Rightarrow$

$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \sqrt{3} .$