Questão 5 Unifesp 2º dia - Reaplicação - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 5

1ª Lei de Ohm 2ª Lei de Ohm Associação de Resistores

Em cursos relacionados à área da saúde, é comum a utilização de bonecos no estudo do comportamento eletrofisioló gico do corpo humano. Considere que um desses bonecos seja feito de um material externo isolante e tenha, em seu interior, cinco cilindros constituídos de um mesmo material condutor representando os braços direito e esquerdo (BD e BE), o tórax (T) e as pernas direita e esquerda (PD e PE). Os cilindros são conectados entre si por fios de resistência desprezível e são conectados com o exterior por meio de eletrodos fixados na superfície do boneco. As características geométricas de cada cilindro estão indicadas na tabela.

Admita que a resistência elétrica de cada braço do boneco seja RB e que dois experimentos diferentes sejam realizados com esse boneco. Em cada experimento, é estabelecida uma mesma diferença de potencial U entre os pontos A e B, e uma corrente elétrica atravessa o boneco pelos caminhos indicados em destaque nas figuras 1 e 2.

Responda em função apenas de $R_{B}$ e de U:

a) Qual a resistência equivalente do boneco e a intensidade da corrente elétrica que o atravessa na montagem indicada na figura 1?

b) Qual a resistência equivalente do boneco na montagem indicada na figura 2?

Resolução

a) Observe que, pela figura 1, os dois braços se comportam como uma associação de resistores em série.

Assim, a resistência equivalente é a soma das duas resistências associadas:

$R_{A B} = R_{B} + R_{B} \Rightarrow R_{A B} = 2 R_{B} .$

Quanto à corrente, podemos utilizar a primeira lei de Ohm:

$U = R_{A B} \cdot i \Rightarrow U = 2 R_{B} \cdot i \Rightarrow i = \frac{U}{2 R_{B}} .$

b) Antes de determinarmos como se dá o circuito, vamos utilizar a segunda lei de Ohm para determinar, em função de $R_{B}$ , a resistência $R_{T}$ do tórax e a resistência $R_{P}$ de cada perna. De acordo com a segunda lei de Ohm, se o material utilizado tiver uma resistividade $ρ$ , comprimento $L$ e área da secção transversal (área da base) $A$ , sua resistência $R$ é:

$R = ρ \frac{L}{A} .$

Aplicando esta lei para a resistência $R_{B}$ do braço, de acordo com a tabela, temos:

$R_{B} = ρ \frac{L}{A} . eq . (1)$

Agora, aplicando para a resistência $R_{T}$ do tórax, temos:

$R_{T} = ρ \frac{1, 5 \cdot L}{9 \cdot A} \Rightarrow R_{T} = ρ \frac{L}{6 \cdot A} \Rightarrow R_{T} = \frac{1}{6} (ρ \frac{L}{A}) \Rightarrow R_{T} = \frac{R_{B}}{6} . eq . (2)$

Fazendo o mesmo para a resistência de cada perna:

$R_{P} = ρ \frac{2 \cdot L}{4 \cdot A} \Rightarrow R_{P} = ρ \frac{L}{2 \cdot A} \Rightarrow R_{P} = \frac{1}{2} (ρ \frac{L}{A}) \Rightarrow R_{P} = \frac{R_{B}}{2} . eq . (3)$

Agora, observemos a figura 2 para obtermos a associação correspondente:

Repare que as resistências $R_{P}$ estão em paralelo e, por isso, a resistência equivalente de ambas as pernas é $R_{p} / 2$ :

$\frac{1}{R_{P e q u i v a l e n t e}} = \frac{1}{R_{p}} + \frac{1}{R_{p}} \Rightarrow R_{P e q u i v a l e n t e} = \frac{R_{P}}{2} .$

Por fim, como temos uma associação em série equivalente com resistências no valor de $R_{B}$ , $R_{T}$ e $R_{p} / 2$ , a resistência equivalente entre os pontos A é B é a soma destas:

$R_{A B} = R_{B} + R_{T} + \frac{R_{P}}{2} .$

Substituindo estas resistências pelos valores encontrados nas eq. 2 e 3, temos:

$R_{A B} = R_{B} + \frac{R_{B}}{6} + \frac{\frac{R_{B}}{2}}{2} \Rightarrow R_{A B} = R_{B} + \frac{R_{B}}{6} + \frac{R_{B}}{4} \Rightarrow R_{A B} = \frac{12 \cdot R_{B} + 2 \cdot R_{B} + 3 \cdot R_{B}}{12} \Rightarrow R_{A B} = \frac{17 \cdot R_{B}}{12} .$