Questão 3 Unifesp 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 3

Variação Percentual Progressão Geométrica

O censo demográfico de 2022 revelou crescimento baixo da população do estado de São Paulo em relação ao registrado no censo anterior, de 2010. Considere os valores aproximados da população do estado de São Paulo em 2010 e em 2022 como sendo $41250000$ e $44385000$ , respectivamente.

a) Calcule o crescimento percentual da população do estado de São Paulo do censo de 2010 para o de 2022.

b) No relatório do último censo, o IBGE divulgou a taxa de crescimento geométrico anual da população de São Paulo, considerando o período de 2010 a 2022. Essa taxa quer dizer que, nesse período, o crescimento populacional anual, relativamente ao ano anterior, foi sempre o mesmo. Calcule essa taxa, em porcentagem, dado o gráfico a seguir.

Resolução

a) O crescimento percentual da população do Estado de São Paulo do censo de 2010 para o de 2022 foi:

$V = \frac{P (2022) - P (2010)}{P_{2010}} \cdot 100 % = \frac{44.385.000 - 41.250.000}{41.250.000} \cdot 100 % V = \frac{3.150.000}{41.250.000} \cdot 100 % V = 7, 6 %$

b) Seja $i > 0$ a taxa anual de crescimento da população do Estado de São Paulo de 2010 a 2022. Do item (a), o crescimento populacional acumulado nesses 12 anos foi de $7, 6 %$ . Como esse crescimento foi geométrico, temos que:

$P (2022) = P (2010) \cdot {(1 + i)}^{12} \Leftrightarrow 41250000 \cdot 1, 076 = 41250000 \cdot {(1 + i)}^{12} \Leftrightarrow$

$1 + i = \pm \sqrt[12]{1, 076}$

Como $i$ , e portanto $(1 + i)$ devem ser positivos, ficamos com:

$i = \sqrt[12]{1, 076} - 1$

Pelo gráfico fornecido no enunciado:

$10 \cdot \sqrt[12]{1, 076} = 10, 06 \Leftrightarrow \sqrt[12]{1, 076} = 1, 006$

Portanto, a taxa percentual anual de crescimento populacional nesse período foi

$i = 1, 006 - 1 = 0, 006 \Leftrightarrow i = 0, 6 %$