Questão 4 Unifesp 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Polígonos Regulares Área do Círculo Área de polígonos

A figura representa uma sequência de n hexágonos regulares concêntricos, cortados pelas retas $r$ , $s$ e $t$ . O menor dos hexágonos tem lado de $1 c m$ e a distância entre vértices vizinhos de dois hexágonos consecutivos é sempre igual a $1, 5 c m$ .

a) Calcule a medida do lado do 20º hexágono da figura. Sendo $L_{n}$ a medida, em centímetros, do lado no $n$ -ésimo hexágono da figura, determine a fórmula de $L_{n}$ em função de $n > 1$ .

b) Sabendo que a região destacada em amarelo na figura é determinada pelo círculo que circunscreve o $n$ -ésimo hexágono da figura e esse hexágono, determine $A_{n}$ , que denota a fórmula para o cálculo da área dessa região, em $c m^{2}$ , em função de $n > 1$ .

Resolução

Ao traçar os segmentos ligando o centro de um hexágono regular aos seus vértices, dividimos esse hexágono em seis triângulos equilátero.

a) A partir da divisão do hexágono regular em triângulos equiláteros, constatamos que a medida de seus lados é igual à distância do centro até um de seus vértices. Como o primeiro hexágono possui lados de $1 cm$ e a distância entre vértices vizinhos de hexágonos consecutivos é de $1, 5 cm$ , a sequência das distâncias do centro dos hexágonos até os vértices do $n$ -ésimo hexágono é uma progressão aritmética. Assim,

$L_{n} = 1 + (n - 1) \cdot 1, 5 \Leftrightarrow L_{n} = (\frac{3 n - 1}{2}) cm$

Desse modo, a medida do lado do 20º hexágono é

$L_{20} = \frac{3 \cdot 20 - 1}{2} = \frac{59}{2} = 29, 5 cm$

b) Ainda da divisão do hexágono regular em triângulos equiláteros, a medida do raio do círculo que circunscreve um hexágono regular é igual à medida de seus lados. Sendo assim, a área $A_{n}$ , da região em amarelo, corresponde à diferença entre as áreas de um círculo de raio $L_{n}$ e do $n$ -ésimo hexágono regular, de lado $L_{n}$ , onde $L_{n} = (\frac{3 n - 1}{2}) cm$ (item a).

Portanto, como a área de um círculo de raio $r$ é $A_{círculo} = {πr}^{2}$ e a área de um triângulo equilátero de lado $L$ é $A_{△ e q u i l .} = \frac{L^{2} \sqrt{3}}{4}$ , temos que

$A_{n} = π \cdot {L_{n}}^{2} - 6 \cdot \frac{{(L_{n})}^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} A_{n} = {(\frac{3 n - 1}{2})}^{2} \cdot (π - \frac{3 \sqrt{3}}{2}) A_{n} = \frac{(9 n^{2} - 6 n + 1) \cdot (2 π - 3 \sqrt{3})}{8} {cm}^{2}$