Questão 5 Unifesp 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 5

Ângulo Circunferência Teorema dos Cossenos

Quando o Sol está a pino, ao meio-dia, sua luz é filtrada por aproximadamente $16 k m$ da troposfera terrestre. À tarde, quando o Sol está a uma inclinação de $30 º$ em relação ao horizonte no ponto que incidia na Terra ao meio-dia, sua luz é filtrada por d quilômetros dessa camada da atmosfera, como mostra a figura, em que consideramos o raio da Terra como $6384 k m$ . O esquema desse modelo simplificado está representado a seguir:

a) Escreva a medida de $C D$ em notação científica na unidade de medida metro. Determine as medidas dos ângulos agudo $A \hat{B} D$ e obtuso $C \hat{B} D$ .

b) Escreva uma equação polinomial do 2º grau na incógnita d e coeficientes inteiros cuja raiz positiva é a medida de $d$ , em quilômetros.

Resolução

a) Consideremos os pontos $E$ (na circurferência externa da troposfera) e $F$ ( na superfície da Terra), marcados na figura a seguir:

Considerando a Terra perfeitamente esférica, observe que o segmento $\bar{C D}$ tem medida dada pela soma da medida do raio da Terra com a espessura da troposfera:

$C D = 6384 + 16 = 6400 km = 6400 \cdot 10^{3} m \Leftrightarrow C D = 6, 4 \cdot 10^{6} m$

Quanto às medidas dos ângulos, temos que:

$\{\begin{cases} med (A \hat{B} D) = med (A \hat{B} E) - med (D \hat{B} E) = 90 ° - 30 ° \\ med (C \hat{B} D) = med (C \hat{B} E) - med (E \hat{B} D) = 90 ° + 30 ° \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} med (A \hat{B} D) = 60 ° \\ med (C \hat{B} D) = 120 ° \end{cases}$

b) Aplicando a lei dos cossenos no triângulo $B C D$ , temos que:

$C D^{2} = B D^{2} + B C^{2} - 2 \cdot B D \cdot B C \cdot \cos 120 ° \Leftrightarrow$

$6400^{2} = d^{2} + 6384^{2} - 2 \cdot d \cdot 6384 \cdot (- \frac{1}{2}) \Leftrightarrow$

$d^{2} + 6384 d + (6384^{2} - 6400^{2}) = 0$

Da fatoração da diferença de quadrados, vem que:

$6384^{2} - 6400^{2} = (6384 + 6400) \cdot (6384 - 6400) = 12784 \cdot (- 16) = - 204 544$

Assim, a equação pedida é:

$d^{2} + 6384 d - 204 544 = 0$

Observação: Fica apenas como observação que a raiz positiva dessa equação seria $d = 8 \cdot (\sqrt{162397} - 399)$ , que corresponde a aproximadamente 32 km. Consideramos elogiável o fato de o enunciado ter apenas pedido para o candidato chegar à equação do segundo grau, mas não pedido para resolvê-la.