Questão 4 Unifesp 2º dia - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Tubos Fechados

A velocidade do som no ar, em $\frac{m}{s}$ , pode ser calculada, com boa aproximação, pela expressão $v = 330 + 0, 6 \cdot θ$ , em que $θ$ é a temperatura do ar, expressa em ºC.

a) Calcule a frequência, em $H z$ , de uma onda sonora de comprimento de onda $0, 57 m$ que se propaga no ar a 20 ºC.

b) Considere uma onda estacionária produzida dentro de um tubo de $0, 70 m$ de comprimento, aberto em uma de suas extremidades e fechado na outra, conforme a figura.

Calcule a temperatura do ar, em ºC, no interior desse tubo para que a frequência do som emitido por ele, na situação mostrada na figura, seja de $945 Hz$ .

Resolução

a) Da relação fundamental da ondulatória temos

$v = λ \cdot f \Rightarrow$ $f = \frac{v}{λ}$

$f (θ) = \frac{330 + 0, 6 \cdot θ}{λ} \Rightarrow$

$f (20) = \frac{330 + 0, 6 \cdot 20}{λ} \Rightarrow$

$f (20) = \frac{330 + 12}{0, 57} \Rightarrow$

$f (20) = \frac{342}{0, 57} \Rightarrow$

f (20) = 600 Hz .

Ou seja, a frequência que procuramos é de 600 Hz.

b) No tubo fechado, a relação entre o comprimento de onda e o tamanho do tubo para o harmônico n é dada por¹

$λ = \frac{4 L}{n}$

onde n = 1, 3, 5, 7 ...

Da figura do enunciado, é possível verificarmos que estamos no harmônico n = 7, portanto

$λ = \frac{4 \cdot 0, 7}{7} \Rightarrow$

$λ = 0, 4 m .$

Sendo a frequência da onda estacionária de 945 Hz, a sua velocidade é

$v = λ \cdot f \Rightarrow$

$v = 0, 4 \cdot 945 \Rightarrow$

$v = 378 Hz$ .

A partir daí, podemos calcular a temperatura ambiente, dado que

$330 + 0, 6 \cdot θ = 378 \Rightarrow$

$0, 6 \cdot θ = 48 \Rightarrow$

θ = 80 º C .

Portanto, a temperatura do ar no interior do tubo é de 80 °C.

Observação. ¹Nós demonstramos o comprimento de onda algebricamente, mas caso o candidato não conhecesse a fórmula utilizada acima, nós poderíamos utilizar uma estratégia diferente.

Veja a figura abaixo

Cada ventre representa 1/2 comprimento de onda e, portanto, cada metade de ventre representa 1/4 de comprimento de onda. Analisando a figura, verificamos que a onda estacionária formada possui 7 pedaços de 1/4 de comprimento de onda perfeitamente encaixados no tubo de 0,7 m. Matematicamente isso pode ser escrito como

$7 \cdot \frac{λ}{4} = 0, 7$

$λ = 0, 4 m$