Questão 22 Unesp 2024 - 2ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 22

Probabilidade Polígonos Regulares

A figura indica uma roleta circular, dividida em cinco setores. As posições finais do ponteiro giratório da roleta, após um giro aleatório em torno do centro do círculo, possuem mesmas probabilidades. Se, após o giro, o ponteiro para sobre a linha compartilhada por setores circulares contíguos, ele é girado novamente.

a) Girando-se ao acaso o ponteiro da roleta até que ele pare em uma região do interior de algum dos cinco setores, qual a probabilidade de que o ângulo central do setor seja obtuso? E qual a probabilidade de que esse ângulo seja agudo?

b) Girando-se ao acaso duas vezes o ponteiro da roleta e anotando-se os dois ângulos obtidos, qual é a probabilidade de que ao menos um deles seja ângulo interno de um polígono regular?

Resolução

a) Lembrando que um ângulo obtuso tem medida entre $90 °$ e $180 °$ , temos apenas um setor cujo ângulo central seja obtuso: o de $120 °$ . Desta forma, a probabilidade do ponteiro ficar neste setor é de

$P_{o b t u s o} = \frac{120 °}{360 °} = \frac{1}{3}$

Para atingir um ângulo agudo, o ponteiro tem as regiões de $30 °, 45 °$ e $75 °$ disponíveis, ou seja, do círculo inteiro, que corresponde a $360 °$ , $30 + 45 + 75 = 150 °$ são favoráveis para que ele pare em uma região obtida por um ângulo agudo. Sendo assim, a probabilidade é dada por

$P_{a g u d o} = \frac{150 °}{360 °} = \frac{5}{12}$

b) A fim de identificar quais setores se referem a ângulos internos de polígonos regulares, podemos nos lembrar que o ângulo externo ( $A_{e}$ ) de um polígono regular de $n$ lados é dado por $A_{e} = \frac{360 °}{n}$ . Desta forma, na condição de que $n$ é um número natural, devemos ter que o ângulo externo deve ser um divisor de $360 °$ (afinal, $n = \frac{360 °}{A_{e}}$ ).

Vamos então analisar cada um dos suplementares dos ângulos dados no enunciado para identificar aqueles cujo ângulo externo associado, divide $360 °$ :

$120 °$ teria ângulo externo $60 °$ , que é um divisor de $360 °$ (com quociente maior ou igual a 3), logo, é ângulo interno de polígono regular (a saber: hexágono regular).
$75 °$ teria ângulo externo $105 °$ , que não é um divisor de $360 °$ .
$90 °$ teria ângulo externo $90 °$ , que é um divisor de $360 °$ (a saber: ângulo interno do quadrado).
$30 °$ teria ângulo externo de $150 °$ que não é um divisor de $360 °$ .
$45 °$ teria ângulo externo de $135 °$ que não é um divisor de $360 °$ .

Concluímos então que os ângulos de $30 °, 45 °$ e $75 °$ não podem ser ângulos internos de polígonos regulares.

Para calcular a probabilidade de, ao girar 2 vezes o ponteiro, ele caia pelo menos uma vez em uma região associada ao ângulo interno de um polígono regular, podemos calcular a probabilidade de termos o ponteiro caindo duas vezes em uma das regiões desfavoráveis, ou seja, em uma das regiões de ângulos centrais dados por $30 °, 45 °$ ou $75 °$ e depois subtraí-la de 1.

Ora, sabemos do item anterior que a probabilidade do ponteiro cair uma vez em uma dessas regiões desfavoráveis é dada por $\frac{5}{12}$ , daí que a probabilidade dele cair duas vezes em uma dessas regiões é de ${(\frac{5}{12})}^{2} = \frac{25}{144}$ . Como queremos a situação complementar a esta, devemos ter uma probabilidade de

$P = 1 - \frac{25}{144} = \frac{119}{144}$