Questão 23 Unesp 2024 - 2ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 23

Teorema Fundamental da Semelhança Volume do Prisma

Um prisma reto, de $10 c m$ de altura, tem base representada pela letra $N$ , composta por dois retângulos congruentes $A B I J$ e $D E F G$ , e pelo paralelogramo $C D H I$ , com $A J = 12 c m$ , $B C = x c m$ , $A D = (x - 1) c m$ e $B D = 6 c m$ como mostra a figura.

a) Considerando que os triângulos $C B D$ e $J A D$ são semelhantes, mostre que $x = 9$ .

b) Considerando $x = 9$ , calcule o volume do prisma.

Resolução

a) Considerando os triângulos CBD e JAD semelhantes, tem-se que:

Logo,

$\frac{x}{6} = \frac{12}{x - 1}$

$x (x - 1) = 72$

$x^{2} - x - 72 = 0$

Então, utilizando a soma e o produto das raízes:

$S : (9) + (- 8) = 1$

$P : (9) \cdot (- 8) = - 72$

$x = - 8$ (não convém) ou $x = 9 .$

Portanto, se os triângulos CBD e JAD são semelhantes, então $x = 9$ .

b) Para $x = 9$ , temos a seguinte figura:

Com:
$A D = 9 - 1 = 8 cm$ ,

como os retângulos são congruentes:

$A B = D E = 2 cm \Rightarrow AE = 10 cm$

Logo, a área da base do prisma pode ser dada por:

$A_{b a s e} = 10 \cdot 12 - 2 \cdot \frac{6 \cdot 9}{2} = 120 - 54 = 66 {cm}^{2}$

Então, sabendo que a altura do prisma é $10 cm$ , o volume será:

$V = 66 \cdot 10 = 660 {cm}^{3}$