Questão 24 Unesp 2024 - 2ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 24

Equações em R Coeficiente Angular e Inclinação Funções Circulares

Seja $f : ℝ \to ℝ$ a função dada por $f (x) = 2 sen (3 x - \frac{π}{3})$ . No gráfico de $f (x)$ , estão marcados os pontos P, Q e R. O ponto P localiza-se na interseção do gráfico de $f (x)$ com o eixo das ordenadas. Q é o ponto do gráfico de menor abscissa positiva para o qual $f (x)$ é máximo. O ponto R localiza-se na segunda interseção positiva do gráfico de $f (x)$ com o eixo das abscissas. A reta r passa pelos pontos Q e R, como se vê na imagem.

a) Determine as coordenadas do ponto P.

b) Determine o coeficiente angular da reta r.

Resolução

a) As coordenadas do ponto P devem satisfazer a lei de formação da função com $x = 0$ . Lembrando que a função seno é uma função ímpar, isto é, $sen (- x) = - sen (x)$ , temos que:

$y_{P} = 2 \cdot sen (3 \cdot 0 - \frac{π}{3}) = 2 \underset{- sen (\frac{π}{3})}{\cdot \underset{⏟}{sen (- \frac{π}{3})}} = 2 \cdot \frac{- \sqrt{3}}{2} = - \sqrt{3}$

Logo, $P (0, - \sqrt{3})$ .

b) Para determinar o coeficiente angular da reta que passa por Q e R, vamos determinar as coordenadas destes pontos.

Ponto Q.

Do enunciado, ele é o ponto de menor coordenada $x$ positiva para o qual a função atinge seu valor máximo. Tal máximo ocorre quando $sen (3 x - \frac{π}{3}) = 1$ , ou seja, quando

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + 2 k π \Leftrightarrow 3 x = \frac{5 π}{6} + 2 kπ$

isto é,

$x = \frac{5 π}{18} + \frac{2 k π}{3}, k \in ℤ$

O menor valor positivo de $x$ ocorre para $k = 0$ , daí que $x = \frac{5 π}{18}$ e $f (x) = 2 \cdot 1 = 2$ .

Portanto, $Q (\frac{5 π}{18}, 2)$ .

Ponto R.

O ponto R tem a segunda maior coordenada $x$ positiva com $y = 0$ , logo,

$0 = 2 sen (3 x - \frac{π}{3}) \Rightarrow sen (3 x - \frac{π}{3}) = 0 \Rightarrow 3 x - \frac{π}{3} = k π \Rightarrow 3 x = \frac{π}{3} + kπ \Rightarrow x = \frac{π}{9} + \frac{kπ}{3}, k \in ℤ$

A menor coordenada $x$ positiva com $y = 0$ ocorre para $k = 0$ e a segunda menor, para $k = 1$ . Daí que

$x_{R} = \frac{π}{9} + \frac{π}{3} = \frac{4 π}{9}$

e $R (\frac{4 π}{9}, 0)$ .

Assim, o coeficiente angular da reta que os liga é dada por

$m = \frac{∆ y}{∆ x} = \frac{2 - 0}{\frac{5 π}{18} - \frac{4 π}{9}} = - \frac{12}{π}$