Questão 85 Unesp 2024 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 85

Equações e Inequações (Função Quadrática)

Seja a equação quadrática $n x^{2} - x + 1 = 0$ , em que $n$ é uma constante real, com duas raízes reais positivas e distintas. Assim, os valores de $n$ que satisfazem essas condições são tais que:

a)	$0 < n < \frac{1}{4}$
b)	$n < \frac{1}{4}$
c)	$- \frac{1}{4} < n < \frac{1}{4}$
d)	$n > \frac{1}{4}$
e)	$- \frac{1}{4} < n < 0$

Resolução

Em uma equação quadrática da forma $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ , a soma de suas raízes é igual a $- \frac{b}{a}$ e o produto de suas raízes é igual a $\frac{c}{a}$ .

Do enunciado, sabemos que a equação $n x^{2} - x + 1 = 0$ possui duas raízes reais positivas. Sendo assim, é correto afirmar que o produto das raízes é um número positivo, isto é,

$\frac{c}{a} > 0$ .

Como $c = 1$ e $a = n$ , temos:

$\frac{1}{n} > 0 \Rightarrow$ $n > 0 (I)$

Além disso, as raízes da equação quadrática dada são reais e distintas. Assim, seu discriminante $(∆)$ é maior que zero.

Sabemos que $∆ = b^{2} - 4 a c$ . Como $∆ > 0$ , segue que

$b^{2} - 4 a c > 0$

$\Leftrightarrow {(- 1)}^{2} - 4 \cdot n \cdot 1 > 0$

$\Leftrightarrow 1 - 4 n > 0$

$\Leftrightarrow 4 n < 1$

$\Leftrightarrow n < \frac{1}{4} (II)$

De $(I)$ e $(II)$ , concluímos que $0 < n < \frac{1}{4}$ .