Questão 89 Unesp 2024 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 89

Relações Métricas e Trigonométricas no Triângulo Retângulo Teorema Fundamental da Semelhança Geometria Analítica

A figura indica o projeto de uma casa, sustentada por dois pilares e com rampa retilínea, de inclinação $α$ em relação à horizontal, direcionando-se ao subsolo da casa. Todas as medidas indicadas na figura estão em metros.

Dados:

Considerando que os dois pilares são retilíneos e perpendiculares ao eixo $x$ , a medida do pilar menor, em metros, e o intervalo angular ao qual $α$ pertence são, respectivamente:

a)	$\frac{77}{8}$ e $30 ° < α < 31 °$
b)	$\frac{77}{6}$ e $30 ° < α < 31 °$
c)	$\frac{77}{8}$ e $23 ° < α < 24 °$
d)	$\frac{77}{8}$ e $26 ° < α < 27 °$
e)	$\frac{77}{6}$ e $31 ° < α < 32 °$

Resolução

Seja $h$ o comprimento do pilar menor.

Como os pilares são perpendiculares ao eixo $x$ , segue que o pilar menor (formado pelo segmento $\bar{B C}$ ) e o segmento $\bar{D E}$ (congruente ao pilar maior) são paralelos.

Sendo assim, os triângulos $A B C$ e $A D E$ são semelhantes. Logo, temos:

$\frac{h}{D E} = \frac{A B}{A D} \Leftrightarrow$ $\frac{h}{17, 5} = \frac{22}{30} \Leftrightarrow$ $h = \frac{77}{6} m$ .

No triângulo $A D E$ , temos:

$tg α = \frac{D E}{A D} = \frac{17, 5}{30} \Rightarrow$ $tg α = 0, 58333 \dots$

ora,

$0, 577 < 0, 58333 \dots < 0, 601$

$\Rightarrow tg 30 ° < tg α < tg 31 °$

e como $tg α$ é uma função crescente quando $0 ⩽ α < 90 °$ , podemos concluir então que $30 ° < α < 31 °$ .