Questão 1 Fuvest 2024 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 1

Inteiros (Z)

Um móbile matemático é uma figura que simula móbiles físicos. Ela é formada por segmentos de reta e figuras planas com valores numéricos racionais positivos, de forma a buscar um equilíbrio. A figura 1 ilustra um móbile básico matemático. Para ele estar em equilíbrio, os valores devem cumprir as equações $𝑥 = 𝑎 𝑐 + 𝑏 𝑑$ e $𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑑$ . Quando não aparecem valores para as letras $𝑎$ e $𝑏$ , significa que ambas valem 1.

Um móbile pode ser composto por diversos móbiles básicos, como a figura 2. Note que, nele, tem-se $5 = 3 + 1 + 1$ , mantendo o móbile em equilíbrio.

Considerando os móbiles I, II e III, apresentados na folha de respostas, responda ao que se pede:

a) Complete o móbile I, preenchendo as formas geométricas vazias com os valores que faltam para que ele esteja em equilíbrio.

b) Determine $𝑛 \in 𝑁$ para que o móbile II esteja em equilíbrio.

c) Complete o móbile III, preenchendo as formas geométricas vazias com os valores que faltam para que ele esteja em equilíbrio.

Resolução

Gostaríamos de começar apontando que, infelizmente, uma das igualdades ( $x = a \cdot c + b \cdot d$ ) apresentadas pelo enunciado, não faz sentido.

Fisicamente, para analisar o equilíbrio de um corpo extenso, como é o caso de um móbile, duas condições são impostas:

força resultante nula;
torque resultante nulo;

No caso do exercício, essas igualdades teriam a seguinte tradução:

$\{\begin{cases} x = c + d \\ a \cdot c = b \cdot d \end{cases}$

Observe que a primeira equação, relativa à força resultante nula, não deve envolver as distâncias $a$ e $b$ ("braços" das forças peso em cada extremidade), mas apenas as massas $c$ e $d$ suspensas de cada lado. O próprio exemplo dado no enunciado não se encaixa na equação $x = a \cdot c + b \cdot d$ , pois no caso do móbile básico

teríamos $3 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \Leftrightarrow 3 = 2$ , um absurdo!

Fisicamente, é intuitivo que, se os braços são iguais, então as massas suspensas de um lado e do outro também serão iguais, não tendo relevância qual o valor particular dessa distância comum. Esse fato, aliás, basta para resolver os itens (a) e (b).

a) Vamos seguir os seguintes passos:

Passo 01:

Passo 02:

Passo 03:

Passo 04:

b) Seguindo os seguintes passos:

Passo 01:

Passo 02:

Passo 03:

Passo 04:

Logo:

$2 n + 3 + 2 n + 3 + 4 n + 6 + 8 n + 12 = 456 \Leftrightarrow$

$16 n = 432 \Leftrightarrow n = 27$

c) Resolveremos esse item com o par de equações que é fisicamente coerente, conforme já explicado anteriormente:

$\{\begin{cases} x = c + d \\ a \cdot c = b \cdot d \end{cases}$

Admitindo a seguinte representação das incógnitas:

Aplicando a equação correta, para $x = 70$ , $a = 2$ e $b = 5$ , tem-se que:

$\{\begin{cases} 70 = c + d \\ 2 \cdot c = 5 \cdot d \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c = 50 \\ d = 20 \end{cases}$

Seguindo a mesma abordagem no lado esquerdo do móbile III:

$\{\begin{cases} 50 = e + f \\ 7 \cdot e = 3 \cdot f \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} e = 15 \\ f = 35 \end{cases}$

E agora no direito do móbile III:

$\{\begin{cases} 20 = g + h \\ 2 \cdot g = 3 \cdot h \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} g = 12 \\ h = 8 \end{cases}$

Portanto, o móbile III ficará da seguinte forma: