Questão 2 Fuvest 2024 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 2

Probabilidade

Uma padaria faz parte de um movimento que pretende combater o desperdício de alimentos e vende com descontos seus produtos próximos à data de vencimento. São montados três tipos de kits: A (doces), B (salgados) e C (mistos). No momento da compra, um cliente deve indicar apenas uma preferência entre os kits A, B ou C, mas receberá um kit surpresa (A, B ou C), conforme a disponibilidade de produtos em promoção.

Sabendo que 40% dos consumidores preferem o kit A, 30% preferem o kit B e 40% preferem o kit C e que a probabilidade de um cliente ter a sua preferência atendida é de 80% para o kit A, 90% para o kit B e 70% para o kit C, responda:

a) Qual a probabilidade de um cliente não ter a sua preferência atendida?

b) Dois amigos fazem uma compra cada um, indicando preferências distintas entre si. Qual a probabilidade de ambos terem as suas preferências atendidas?

c) Um cliente teve a sua preferência atendida. Qual a probabilidade de que ele tenha pedido o kit B?

Resolução Sugerimos anulação

Primeiramente, é necessário observar que, ao afirmar que no momento da compra, um cliente deve indicar apenas uma preferência entre os kits A, B ou C, e, no parágrafo seguinte, mencionar que 40% dos consumidores preferem o kit A, 30% preferem o kit B e 40% preferem o kit C, o enunciado acaba entrando em contradição, pois $40 % + 30 % + 40 % = 110 %$ , que supera $100 %$ .

Portando, essa questão tem um erro em sua formulação, de modo que sugerimos sua anulação.

Vamos admitir que as porcentagens dos kits A, B e C são, respectivamente, $a$ , $b$ e $c$ , tal que, $a + b + c = 100 %$ , e descreveremos em função dessas letras a resolução esperada para a questão .

a) Temos que:

se a probabilidade de a preferência por A ser atendida é $P (A) = 80 % \Rightarrow P (A^{C}) = 20 %$
se a probabilidade de a preferência por B ser atendida é $P (B) = 90 % \Rightarrow P (B^{C}) = 10 %$
se probabilidade de a preferência por C ser atendida é $P (C) = 70 % \Rightarrow P (C^{C}) = 30 %$ ,

Logo, a probabilidade de um cliente não ter sua preferência atendida é:

$P_{N} = a \cdot P (A^{C}) + b \cdot P (B^{C}) + c \cdot P (C^{C}) \Leftrightarrow$

$P_{N} = a \cdot 20 % + b \cdot 10 % + c \cdot 30 % \Leftrightarrow$

$P_{N} = 0, 2 \cdot a + 0, 1 \cdot b + 0, 3 \cdot c$

b) Temos 3 casos possíveis:

Caso 01: Preferência pelos kits A e B.

$P_{A B} = \underset{A B o u B A}{\underset{⏟}{2}} \cdot 80 % \cdot a \cdot 90 % \cdot b = 2 \cdot 72 % \cdot a b$

Caso 02: Preferência pelos kits A e C.

$P_{A C} = \underset{A C o u C A}{\underset{⏟}{2}} \cdot 80 % \cdot a \cdot 70 % \cdot c = 2 \cdot 56 % \cdot a c$

Caso 03: Preferência pelos kits B e C.

$P_{B C} = \underset{B C o u C B}{\underset{⏟}{2}} \cdot 90 % \cdot b \cdot 70 % \cdot c = 2 \cdot 63 % \cdot b c$

Portanto:

$P_{A t e n d i d a} = 2 \cdot (72 % \cdot a b + 56 % \cdot a c + 63 % \cdot b c)$ .

c) A probabilidade de um cliente ter sua preferência atendida:

$P_{A t e n d i d a} = a \cdot 80 % + b \cdot 90 % + c \cdot 70 % \Leftrightarrow$

$P_{A t e n d i d a} = 0, 8 \cdot a + 0, 9 \cdot b + 0, 7 \cdot c$

Aplicando o Teorema de Bayes:

$P (B | A t e n d i d a) = \frac{P (B \cap A t e n d i d a)}{P (A t e n d i d a)} = \frac{0, 9 \cdot b}{0, 8 \cdot a + 0, 9 \cdot b + 0, 7 \cdot c}$ .