Questão 3 Fuvest 2024 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 3

Reta (G.A.) Parábola

Considere a parábola $𝑃$ dada pela equação $y = x^{2}$ e a reta $𝑟$ dada pela equação $𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 + 𝑐 = 0$ 0, onde $𝑎$ , $𝑏$ , e $𝑐$ são constantes reais. Denote por $𝑂 = (0, 0)$ a origem do sistema de coordenadas cartesiano $𝑂 𝑥 𝑦$ .

a) Se $𝑎 = 2$ , $𝑏 = - 1$ e $𝑐 = 3$ , determine todos os pontos do plano cartesiano que pertencem, simultaneamente, à reta $𝑟$ e à parábola $𝑃$ .

b) Se $𝑎 = 4$ , $𝑏 = 3$ e $𝑐 = - 7$ , determine o ponto da reta $𝑟$ que está mais próximo de $𝑂$ .

c) Considere três pontos $𝐴$ , $𝐵$ e $𝐶$ na parábola $𝑃$ , tais que $𝐴 = (- 1, 1)$ , $𝐵$ pertence ao primeiro quadrante e os segmentos $𝐴 𝐵$ e $𝑂 𝐶$ são paralelos. Determine $𝐵$ e $𝐶$ de forma que a distância de $𝐵$ até $𝐶$ seja $\sqrt 17$ .

Resolução

a) Para $a = 2, b = - 1$ e $c = 3$ , tem-se:

$r : 2 x - y + 3 = 0 \Leftrightarrow y = 2 x + 3$

Como buscamos os pontos em comum com $y = x^{2}$ , substituindo a equação de $r$ na parábola, vem que:

$2 x + 3 = x^{2} \Rightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 ou x = - 1$

para $x = - 1 \Rightarrow y = {(- 1)}^{2} = 1$ ;
para $x = 3 \Rightarrow y = 3^{2} = 9$ ;

Logo, os pontos são $(- 1, 1)$ e $(3, 9)$ .

b) Para $a = 4, b = 3$ e $c = - 7$ , tem-se:

$r : 4 x + 3 y - 7 = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{4}{3} x + \frac{7}{3}$

Buscamos o ponto de $r$ mais próximo de $O$ , graficamente representado pelo ponto $A$ , que vem a ser a intersecção de $r$ com a reta perpendicular a $r$ que passa pela origem, isto é:

Para a reta perpendicular, temos a condição:

$m \cdot (- \frac{4}{3}) = - 1 \Leftrightarrow m = \frac{3}{4}$

Logo, $y - 0 = \frac{3}{4} (x - 0) \Leftrightarrow y = \frac{3}{4} x$

Como queremos o ponto em comum, resolvemos o sistema:

$\{\begin{cases} 4 x + 3 y - 7 = 0 \\ y = \frac{3}{4} x \end{cases}$

Substituindo a segunda equação na primeira:

$4 x + 3 \cdot \frac{3 x}{4} - 7 = 0 \Leftrightarrow 16 x + 9 x = 28 \Leftrightarrow x = \frac{28}{25}$

Então, $y = \frac{3}{4} \cdot \frac{28}{25} \Leftrightarrow y = \frac{21}{25}$

Portanto, o ponto é $(\frac{28}{25}, \frac{21}{25})$ .

c) Tem-se que $A = (- 1, 1)$ e que $B$ e $C$ são pontos da parábola $y = x^{2}$ , logo, $B = (b, b^{2})$ e $C = (c, c^{2})$ , com $B$ sendo ponto do primeiro quadrante.

Como os segmentos $\bar{A B}$ e $\bar{O C}$ são paralelos entre si, eles estão contidos em retas de mesmo coeficiente angular:

$\frac{b^{2} - 1}{b + 1} = \frac{c^{2} - 0}{c - 0} \Rightarrow \frac{(b + 1) (b - 1)}{b + 1} = \frac{c^{2}}{c} \Rightarrow c = b - 1$

Como a distância entre $B$ e $C$ é $\sqrt{17}$ , segue que:

${(b - c)}^{2} + {(b^{2} - c^{2})}^{2} = {(\sqrt{17})}^{2} \Leftrightarrow$

${(b - (b - 1))}^{2} + {(b^{2} - {(b - 1)}^{2})}^{2} = 17 \Leftrightarrow$

$1^{2} + {(b^{2} - (b^{2} - 2 b + 1))}^{2} = 17 \Leftrightarrow$

${(2 b - 1)}^{2} = 16 \Leftrightarrow 2 b - 1 = \pm 4$

(I) $2 b - 1 = - 4 \Leftrightarrow b = - \frac{3}{2}$ (não convém, pois $B$ não seria um ponto do primeiro quadrante)

(II) $2 b - 1 = 4 \Leftrightarrow b = \frac{5}{2}$

Logo, $b^{2} = \frac{25}{4}$ , $c = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2} \Rightarrow c^{2} = \frac{9}{4}$ .

Portanto, os pontos são: $B = (\frac{5}{2}, \frac{25}{4})$ e $C = (\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$ .