Questão 4 Fuvest 2024 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Função Exponencial Função Logarítmica

Vamos admitir que uma corda presa nas extremidades de duas hastes paralelas e de mesma altura descreve uma curva que é dada pela equação 𝑦 = 2^𝑥 + 2^-𝑥. Uma representação gráfica dessa equação, limitada por duas retas verticais paralelas ao eixo 𝑂𝑦 e onde o eixo 𝑂𝑥 indica o solo, é dada pela figura. A unidade de medida é o metro (m).

a) Qual a altura mais baixa que a corda assume?

b) Qual será a altura das hastes se a distância entre elas for de 3 m?

c) Qual a distância entre dois pontos da corda que estão a uma altura de 4 m do solo?

Resolução

Vamos chamar de $f : ℝ \to ℝ$ a função desse exercício, de modo que $f (x) = 2^{x} + 2^{- x} = 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}$ .

a) Conforme o gráfico aponta, o ponto mais baixo da corda ocorre quando $x = 0$ . Assim:

$h_{m í n} = f (0) = 2^{0} + \frac{1}{2^{0}} = 1 + 1 = 2 m$

b) Se a distância entre as hastes for de 3 m, como o eixo das ordenadas é um eixo de simetria para o gráfico dessa função, temos que as abcissas dos pontos em questão serão $x = - 1, 5$ e $x = 1, 5$ .

Substituindo qualquer um deles na expressão da função dada, por exemplo $x = 1, 5$ , vem que:

$f (1, 5) = 2^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} = \sqrt[2]{2^{3}} + \frac{1}{\sqrt[2]{2^{3}}} =$

$2 \sqrt{2} + \frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{8 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} = \frac{9 \sqrt{2}}{4} m$

c) Fazendo $y = 4 m$ na função dada, segue que:

$f (x) = 4 \Leftrightarrow 2^{x} + \frac{1}{2^{x}} = 4$

Substituindo $2^{x} = t$ , ficamos com a equação:

$t + \frac{1}{t} = 4 \Leftrightarrow \frac{t^{2} + 1}{t} = 4 \Leftrightarrow t^{2} - 4 t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

Voltando para $x$ :

$2^{x} = 2 \pm \sqrt{3} \Leftrightarrow x = \log_{2} (2 \pm \sqrt{3})$

(Observe que tanto $2 + \sqrt{3}$ quanto $2 - \sqrt{3}$ são números positivos, de modo que respeitam a condição de existência para o logaritmo).

Assim, sendo pontos de mesma ordenada, a distância entre eles será dada pela diferença entre a maior e a menor abscissa desses pontos:

$d = \log_{2} (2 + \sqrt{3}) - \log_{2} (2 - \sqrt{3}) = \log_{2} (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) =$

$\log_{2} (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) = \log_{2} {(2 + \sqrt{3})}^{2} = 2 \cdot \log_{2} (2 + \sqrt{3})$

A resposta pode ser dada em outros formatos, como $\log_{2} {(2 + \sqrt{3})}^{2}$ ou $\log_{2} (7 + 4 \sqrt{3})$ .

Observação: note que como $(2 + \sqrt{3}) \cdot (2 - \sqrt{3}) = 1 \Leftrightarrow 2 - \sqrt{3} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ , então $\log_{2} (2 - \sqrt{3}) = \log_{2} (\frac{1}{2 + \sqrt{3}}) = \log_{2} {(2 + \sqrt{3})}^{- 1} = - \log_{2} (2 + \sqrt{3})$ , o que é coerente como a simetria do gráfico dado em relação ao eixo das ordenadas (pontos distintos de mesma ordenada devem ter abscissas opostas).