Questão 5 Fuvest 2024 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 5

Área do Triangulo Cones Cilindros

A figura a seguir esboça, no plano cartesiano, a região hachurada delimitada pelo eixo $𝑂 𝑥$ , pelo eixo $𝑂 𝑦$ e pela reta $𝑥 + 𝑦 = 4 .$

a) Calcule a área da região determinada pela intersecção do plano $𝑂 𝑥 𝑦$ com o sólido de revolução gerado pela rotação da região hachurada quando gira em torno do eixo $𝑂 𝑦$ .

b) Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região hachurada quando gira em torno da reta vertical $𝑥 = 4$ .

c) Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região hachurada quando gira em torno da reta $𝑥 + 𝑦 = 4$ .

Resolução

a) Rotacionando a região hachurada em torno do eixo $O y$ , gera-se o seguinte sólido:

A reta $x + y = 4$ conta os eixos nos pontos:

$x = 0 \Leftrightarrow y = 4$
$y = 0 \Leftrightarrow x = 4$

Rotacionando em torno do eixo $O y$ , gera-se um cone com raio da base e altura iguais a $4$ . A região comum entre o cone e o plano cartesiano (secção meridiana do cone) é um triângulo com vértices nos pontos $(4, 0)$ , $(0, 4)$ e $(- 4, 0)$ , de modo que sua área será dada por:

$A = \frac{8 \cdot 4}{2} = 16 u . a .$ (unidades de área).

b) Rotacionando a região hachurada em torno do da reta $x = 4$ , gera-se o seguinte sólido:

O sólido é formado por um cilindro de raio e altura iguais a $4$ , com a remoção de um cone invertido de mesmo raio e altura, logo:

$V_{s ó l i d o} = π \cdot 4^{2} \cdot 4 - \frac{1}{3} \cdot π \cdot 4^{2} \cdot 4 = \frac{2}{3} \cdot π \cdot 64 = \frac{128 π}{3} u . v .$ (unidades de volume).

c) Rotacionando a região hachurada em torno do da reta $x + y = 4$ , gera-se o seguinte sólido:

O sólido é formado por dois cones de mesma base, note que o raio e a altura são iguais a metade da diagonal de um quadrado de lado $4$ , logo:

Diagonal, $d = 4 \sqrt{2} \Rightarrow \frac{d}{2} = 2 \sqrt{2}$ .

Volume:

$V = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(2 \sqrt{2})}^{2} \cdot 2 \sqrt{2} = \frac{2}{3} \cdot π \cdot 16 \sqrt{2} = \frac{32 \sqrt{2} π}{3} u . v .$ (unidades de volume).