Questão 6 Fuvest 2024 - 2ª fase - dia 2

Temos que, para qualquer $x$ real:

$⌊x⌋=n\iff \left\{\begin{array}{l}n\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ n⩽x<n+1\end{array}\right.$

Em cada item dessa questão, vamos delimitar em qual(is) intervalo(s) faz sentido procurar alguma solução,o que acabará envolvendo alguma tentativa e erro. Gostaríamos de deixar claro que, infelizmente, não há uma maneira muito mais eficiente que essa para resolver as equações propostas.

a) Analisamos separadamente os seguintes casos:

(I) Se $x<-3$, então $⌊x⌋⩽-4$, de modo que $x·⌊x⌋>12$.

(II) Se $-3⩽x<3$, então $-3⩽⌊x⌋<2$, de modo que $x·⌊x⌋⩽9$.

(III) Se $3⩽x<4$, então $⌊x⌋=3$, de modo que a equação fica:

$x·3=10\iff x=\frac{10}{3}$

Sendo efetivamente um número no intervalo em consideração ($3⩽x<4$), $\frac{10}{3}$ é solução da equação.

(IV) Se $x⩾4$, então $⌊x⌋⩾4$, de modo que $x·⌊x⌋⩾16$.

Assim, nos casos (I), (II) e (IV), não há solução. Ficamos, portanto, o conjunto solução:

$\boxed{V=\left\{\frac{10}{3}\right\}}$

b) Analisamos separadamente os seguintes casos:

(I) Se $x<2$, então $2x<4$, de modo que $\left\{\begin{array}{l}⌊x⌋⩽1\\ ⌊2x⌋⩽3\end{array}\right.$.

Nesse caso, $⌊x⌋+⌊2x⌋⩽1+3=4<7$, ou seja, é impossível que exista solução nessa região.

(II) Se $2⩽x<3$, então $4⩽2x<6$, de modo que $\left\{\begin{array}{l}⌊x⌋=2\\ ⌊2x⌋=4 \text{ou} ⌊2x⌋=5\end{array}\right.$.

• Se $\left\{\begin{array}{l}⌊x⌋=2\\ ⌊2x⌋=4\end{array}\Rightarrow \right.⌊x⌋+⌊2x⌋=2+4=6\not\equiv 7$
• Se $\left\{\begin{array}{l}⌊x⌋=2\\ ⌊2x⌋=5\end{array}\Rightarrow \right.⌊x⌋+⌊2x⌋=2+5=7$, que é o resultado que queríamos.

Assim, aqui é necessário e suficiente que:

 $\left\{\begin{array}{l}⌊x⌋=2\\ ⌊2x⌋=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2⩽x<3\\ 5⩽2x<6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2⩽x<3\\ \frac{5}{2}⩽x<3\end{array}\right.\iff \frac{5}{2}⩽x<3$

(III) Se $x⩾3$, então $2x⩾6$, de modo que $\left\{\begin{array}{l}⌊x⌋⩾3\\ ⌊2x⌋⩾6\end{array}\right.$.

Nesse caso, $⌊x⌋+⌊2x⌋⩾3+6=9>7$, ou seja, também é impossível que exista solução nessa região.

Assim, a equação proposta terá conjunto solução:

$\boxed{V=[\frac{5}{2},3[}$

c) Solução 1: Analisamos separadamente os seguintes casos:

(I) Se $x<1$, então $⌊x⌋⩽0$, de modo que $-4⌊x⌋⩾0$. Como $x^2⩾0$, para todo $x\in \mathrm{ℝ}$, de modo que $⌊x^2⌋⩾0$, segue que:

$⌊x^2⌋-4⌊x⌋+3=0⩾0+0+3\iff ⌊x^2⌋-4⌊x⌋+3=0⩾3$

Assim, é impossível que exista solução nessa região.

(II) Se $1⩽x<2$, então $⌊x⌋=1$, de modo que ficamos com:

$\left\{\begin{array}{l}⌊x^2⌋-4·1+3=0\\ 1⩽x<2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}⌊x^2⌋=1\\ 1⩽x<2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}1⩽x^2<2\\ 1⩽x<2\end{array}\right.\iff 1⩽x<\sqrt{2}$

(III) Se $2⩽x<3$, então $⌊x⌋=2$, de modo que ficamos com:

$\left\{\begin{array}{l}⌊x^2⌋-4·2+3=0\\ 2⩽x<3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}⌊x^2⌋=5\\ 2⩽x<3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5⩽x^2<6\\ 2⩽x<3\end{array}\right.\iff \sqrt{5}⩽x<\sqrt{6}$

(IV) Se $3⩽x<4$, então $⌊x⌋=3$, de modo que ficamos com:

$\left\{\begin{array}{l}⌊x^2⌋-4·3+3=0\\ 3⩽x<4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}⌊x^2⌋=9\\ 3⩽x<4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}9⩽x^2<10\\ 3⩽x<4\end{array}\right.\iff 3⩽x<\sqrt{10}$

(V) Se $x⩾4$, então $⌊x^2⌋+3>4⌊x⌋$. Ou seja, é impossível que exista solução nessa região.

Assim, a equação proposta terá conjunto solução:

$\boxed{V=[1,\sqrt{2}[ \cup [\sqrt{5},\sqrt{6}[ \cup [3,\sqrt{10}[}$

Solução 2:

Seja $⌊x⌋=n$, onde $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Ao substituir $⌊x⌋=n$ na equação dada, temos que:

$⌊x^2⌋-4n+3=0\iff$ $⌊x^2⌋=4n-3$.

Como $⌊x⌋=n$, segue que

$n⩽x<n+1\Rightarrow$ $n^2⩽x^2<{(n+1)}^2 \text{(I)}$.

Analogamente, da igualdade $⌊x^2⌋=4n-3$, segue que

$4n-3⩽x^2<4n-2 \text{(II)}$.

Ao comparar a desigualdade $n^2⩽x^2$ obtida em $\text{(I)}$ com a desigualdade  $n^2<4n-2$ obtida em $\text{(II)}$, obtemos

$n^2⩽x^2<4n-2$,

de tal forma que

$n^2<4n-2\iff$ $n^2-4n+2<0.$

Ao resolver a inequação acima, encontramos

$2-\sqrt{2}<n<2+\sqrt{2}$,

e como $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, só podemos ter $n=1$, $n=2$ ou $n=3$.

Se $n=1$, então a equação $⌊x^2⌋=4n-3$ fica

$⌊x^2⌋=4·1-3\Rightarrow$ $⌊x^2⌋=1\Rightarrow$ $1⩽x^2<2\Rightarrow$ $\boxed{1⩽x<\sqrt{2}}$;

Se $n=2$, então a equação $⌊x^2⌋=4n-3$ fica

$⌊x^2⌋=4·2-3\Rightarrow$ $⌊x^2⌋=5\Rightarrow$ $5⩽x^2<6\Rightarrow$ $\boxed{\sqrt{5}⩽x<\sqrt{6}}$;

Se $n=3$, então a equação $⌊x^2⌋=4n-3$ fica

$⌊x^2⌋=4·3-3\Rightarrow$ $⌊x^2⌋=9\Rightarrow$ $9⩽x^2<10\Rightarrow$ $\boxed{3⩽x<\sqrt{10}}$.

Nota: ao comparar a desigualdade $x^2<{(n+1)}^2$ obtida em $\text{(I)}$ com a desigualdade $4n-3⩽x^2$ obtida em $\text{(II)}$, encontraríamos a inequação $4n-3<{(n+1)}^2$, que não dispõe de soluções reais. Portanto a única inequação que nos fornece candidatos para $n$ é a que foi desenvolvida ao longo da resolução.