Questão 2 Fuvest 2024 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 2

Teorema de Stevin Definição de Pressão Problemas Envolvendo Vazão, Chuva e Correlatos

No manual de instalação de um filtro de torneira, consta a seguinte mensagem:

Instruções para obter vazão de água recomendada:

Para filtração adequada, acima de 100 kPa utilize o redutor de vazão que acompanha o produto, encaixando-o no filtro.

Dica: Caso não saiba qual a pressão no ponto de uso do filtro, meça o tempo para encher com água um copo de 240 mL. Se o tempo for menor que 6 segundos, recomenda-se encaixar o redutor de vazão na base do filtro

Note e adote:

A altura padrão de cada andar de um prédio é de 3 metros.

Considere a água como um fluido ideal com densidade de 1000 kg/m³ .

A vazão de um fluido em regime de fluxo constante é dada pelo produto da velocidade do fluido pela área da seção reta do tubo de escoamento.

Aceleração da gravidade (g) = 10 m/s².

1 Pa = 1 N/m².

Considere 𝜋 ≈ 3.

a) Calcule a força sobre um tampão de vedação colocado na ponta de um cano de 40 mm de diâmetro se a pressão da água no interior do cano neste local é de 100 kPa.

b) Considere que uma torneira esteja instalada no 4º andar de um prédio de 12 andares (ponto B) e esteja conectada a uma caixa d’água localizada na laje desse prédio (ponto A), conforme a figura. Calcule a distância vertical ℎ e a diferença de pressão entre os pontos B e A.

c) Para um filtro instalado em um apartamento de outro andar (sem o redutor de vazão), verifica-se que o tempo para encher um copo de 240 mL é de 5 s. Dado que o diâmetro da saída do filtro é de 4 mm, calcule a velocidade da água na saída do filtro (em m/s).

Resolução

a) Pela definição de pressão, temos que:

$p = \frac{F}{A} \Rightarrow F = p \cdot A .$

Aqui, $F$ é a força que procuramos e $p = 100 \cdot 10^{3} Pa$ é a pressão da água. Sendo o tampão circular de raio $R = 20 mm = 0, 02 m$ , a área será

$A = π R^{2} = 3 \cdot {(2 \cdot 10^{- 2})}^{2} = 12 \cdot 10^{- 4} m^{2} .$

Com isso, determinamos a força:

$F = 100 \cdot 10^{3} \cdot 12 \cdot 10^{- 4} \Rightarrow F = 120 N .$

b) Perceba que se deslocarmos verticalmente para baixo a cota da altura $h$ de uma distância $d$ obtemos uma altura que corresponde a exatamente 9 andares (veja figura abaixo).

Portanto, a altura $h$ é dada por:

$h = 3 \frac{m}{andar} \cdot 9 andar \Rightarrow h = 27 m .$

A diferença de pressão é dada pelo teorema de Stevin. Em unidades do SI:

$Δ p = d \cdot g \cdot h \Rightarrow Δ p = 1000 \cdot 10 \cdot 27 \Rightarrow Δp = 2, 7 \cdot 10^{5} Pa .$

c) A vazão $z$ se relaciona com a velocidade $v$ da água e a área $A$ de secção transversal da tubulação por:

$z = v \cdot A .$ eq. (1)

A tubulação circular possui raio $r = 2 mm = 2 \cdot 10^{- 3} m$ , logo a área da tubulação é:

$A = π \cdot r^{2} = 3 \cdot {(2 \cdot 10^{- 3})}^{2} \Rightarrow A = 12 \cdot 10^{- 6} m^{2} .$

Determinando a vazão em unidades do Sistema internacional, temos:

$z = \frac{Δ V}{Δ t} = \frac{240 mL}{5 s} \Rightarrow z = 48 \frac{mL}{s} = 48 \cdot 10^{- 3} \frac{L}{s} \Rightarrow z = 48 \cdot 10^{- 6} \frac{m^{3}}{s} .$

Substituindo os valores da vazão e da área na eq. (1), temos:

$48 \cdot 10^{- 6} = v \cdot 12 \cdot 10^{- 6} \Rightarrow v = 4 m / s .$