Questão 3 Fuvest 2024 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 3

Ondas estacionárias em cordas Equação fundamental da ondulatória

Considere uma mesma corda de violoncelo vibrando, em situações distintas, conforme os padrões de ondas estacionárias mostrados nos diagramas a seguir, em que a amplitude das vibrações, por clareza, está grandemente ampliada. No diagrama 1, a corda vibra no comprimento 𝐿 mostrado na figura. No diagrama 2, a corda está pinçada a 2/3 do comprimento 𝐿, de modo que não há vibração no terço restante.

a) Um aluno afirma que, por se tratar de padrões estacionários, a velocidade de propagação de uma onda qualquer na corda é nula. Essa afirmação é correta? Justifique a sua resposta.

b) Considere agora a situação mostrada no diagrama 1. Se o comprimento 𝐿 fosse de 60 cm, qual seria o comprimento de onda da vibração mostrada nesse diagrama?

c) Suponha agora que a frequência da vibração da corda no padrão mostrado no diagrama 1 seja de 220 Hz. Determine a frequência de vibração da corda no padrão mostrado no diagrama 2.

Resolução

a) A afirmaçao está INCORRETA. Ondas estacioárias são formadas a partir da sobreposição de duas ondas identicas que se propagam em sentidos opostos. Embora o padrão formado seja estacionário, há propagaçao de ondas na corda, portanto a velocidade de propagação das ondas não é nula.

b) Na situação descrita no diagrama 1 temos o primeiro harmônico da onda. Nesta sitação temos que:

$λ = 2 L = 2 \cdot 60 = 120 cm .$

Outra maneira de notar isso é ver que temos apenas meio comprimento de onda desenhado na figura, ou seja $\frac{λ}{2} = L \Rightarrow λ = 2 L = 120 cm$ .

O comprimento de onda seria de 120 cm.

c) Neste caso, o comprimento da corda que está livre para oscilar é 2/3 do seu comprimento total de 60 cm, ou seja, é $\frac{2}{3} 60 = 40 cm$ . Também temos o primeiro harmônico desenhado então o comprimento de onda neste caso seria

$λ = 2 L = 2 \cdot 40 = 80 cm$ .

Agora precisamos relacionar este comprimento de onda com a frequência f desta onda. A equação fundamental da ondulatória nos diz que:

$v = λ \cdot f$

onde $v$ é a velocidade de propagaço da onda na corda. Esta velocidade depende apenas da densidade linear da corda e da tensão na corda. Como no diagrama 1 e 2 temos a mesma corda presente, podemos afirmar que a velocidade de propagação da onda será a mesma nos dois casos. Isso quer dizer que:

$λ_{1} \cdot f_{1} = λ_{2} \cdot f_{2}$

onde os índices 1 e 2 se referem aos diagrama 1 e 2, respectivamente.

Temos então:

$120 cm \cdot 220 Hz = 80 cm \cdot f_{2} \Rightarrow$

$f_{2} = \frac{120 cm \cdot 220 Hz}{80 cm} \Rightarrow$

$f_{2} = 330 Hz .$

A frequência de vibração da corda no diagrama 2 seria de 330Hz.