Questão 4 Fuvest 2024 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Gases Perfeitos (Física) Primeira Lei da Termodinâmica nas Transformações (Física)

Considere uma amostra de 2 mols de um gás monoatômico, em que cada átomo possui uma massa de aproximadamente 7 x 10^-24 gramas. O gás pode ser tratado como ideal.

Note e adote:

Número de Avogadro: 6×10²³ mol⁻¹.

Relação de Einstein: 𝐸 = 𝑚𝑐².

Velocidade da luz no vácuo: 3×10⁸ m/s.

a) Determine a massa total do gás na amostra, em gramas.

b) A energia interna da amostra a uma temperatura de 300 K é de 7500 J. Quanta energia é preciso transferir para a amostra para que sua temperatura atinja 400 K?

c) A descoberta de Einstein sobre a equivalência entre massa e energia é válida mesmo em fenômenos mais familiares, como o aquecimento de um fluido, embora, nesse caso, o efeito seja muito pequeno para ser perceptível. Nesse contexto, calcule a variação na massa da amostra de gás do enunciado quando ela experimenta um processo de expansão ao longo do qual recebe 13500 J de calor do entorno e realiza um trabalho de 4500 J.

Resolução

a) Sendo o número de Avogadro $N_{A} = 6 \times 10^{23} {mol}^{- 1}$ , a quantidade de átomos é

$N = n \cdot N_{A} = (2 mol) \cdot (6 \times 10^{23} {mol}^{- 1}) = 1, 2 \times 10^{24} .$

A massa de cada átomo é $m_{A} = 7 \times 10^{- 24} g$ , de modo que a massa total é

$m = N \cdot m_{A} = (1, 2 \times 10^{24}) \cdot (7 \times 10^{- 24} g) \Rightarrow$

$m = 8, 4 g .$

A massa total de gás na amostra é de 8,4 gramas.

b) Para resolver este item, é suficiente considerar que a energia interna $U$ de uma amostra gasosa ideal é proporcional à sua temperatura absoluta $T$ ,

$U = a \cdot T$ ,

em que $a$ é uma constante, com unidade de energia por temperatura, que depende da amostra. Quanto $T = 300 K$ , $U = 7.500 J$ , portanto

$(7.500 J) = a \cdot (300 K) \Rightarrow a = \frac{7.500 J}{300 K} = 25 \frac{J}{K} .$

Com isso, quando $T' = 400 K$ ,

$U' = a \cdot T' = (25 \frac{J}{K}) \cdot (400 K) = 10.000 J .$

Temos, então, que a diferença de energia entre as duas temperaturas é

$Δ U = U' - U = (10.000 J) - (7.500 J) \Rightarrow$

$Δ U = 2.500 J .$

É preciso transferir 2.500 J de energia para o gás.

Resolução alternativa 1.

Como energia interna e temperatura absoluta são proporcionais, podemos dizer que o aumento de 100 K na temperatura (400 K - 300 K) corresponde a um aumento de 2.500 J de energia interna - um terço da temperatura e da energia interna iniciais, respectivamente.

Resolução alternativa 2.

Se tratando de um gás ideal monoatômico, temos que $U = \frac{3}{2} n \cdot R \cdot T$ , em que $n$ é o número de moles do gás e $R$ é a constante dos gases. Partindo disso, pode-se calcular $a = \frac{3}{2} n \cdot R$ , e o desenvolvimento segue como na primeira resolução.

c) Pela primeira lei da termodinâmica, a quantidade de calor $Q$ recebida pelo gás se relaciona com o trabalho por ele realizado $W$ e com sua variação de energia interna $Δ U$ por

$Δ U = Q - W .$

Segundo o enunciado, $Q = 13.500 J$ e $W = 4.500 J$ , portanto,

$Δ U = (13.500 J) - (4.500 J) = 9.000 J .$

Considerando que esta variação de energia $E = Δ U$ se reflita em um aumento $m$ da massa do gás, usando $c = 3 \times 10^{8} m / s$ temos que, em unidades do SI,

$E = m \cdot c^{2} \Rightarrow$

$9.000 = m \cdot {(3 \times 10^{8})}^{2} \Rightarrow$

$m = \frac{9 \times 10^{3}}{9 \times 10^{16}} kg \Rightarrow$

$m = 10^{- 13} kg = 10^{- 10} g .$

Devido ao aumento de energia interna, a massa (relativística, nesse contexto) do gás aumentaria em 10^-10 gramas.