Questão 5 Fuvest 2024 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 5

Lei de Coulomb Impulso e Quantidade de Movimento Dinâmica do Movimento Circular

Um período da vida do físico J. Robert Oppenheimer pouco retratado no recente filme Oppenheimer é o seu Doutorado na Alemanha sob a orientação de Max Born. Em 1927, eles publicaram um trabalho muito importante, que se tornaria uma das bases da física atômica e molecular. A chamada Aproximação de Born‐Oppenheimer usa o fato de que a massa dos núcleos é muito maior que a massa dos elétrons para justificar um tratamento independente do movimento dos núcleos e o dos elétrons em átomos e moléculas.

Para ilustrar a validade da aproximação, considere um modelo clássico para o átomo de hidrogênio composto de um próton de massa $𝑀$ e carga $+ 𝑒$ e um elétron de massa $𝑚$ e carga $- 𝑒$ separados por uma distância $𝐷$ , como mostra a figura.

a) Considerando o sistema inicialmente estático, desenhe, na folha de respostas, os vetores das forças elétricas que atuam sobre as duas partículas.

Considere agora que as velocidades das cargas estão sempre em sentidos opostos e perpendiculares à linha que une os seus centros, como mostra a figura. Considere também que a única força que atua sobre as partículas é a força elétrica entre elas, de modo que a quantidade de movimento total (ou momento linear total) do sistema é nula. Considere ainda que ambas as cargas estejam em movimento circular uniforme em torno do centro de massa do sistema, de modo que distância entre as duas partículas não se altere.

b) Sendo $𝑀 / 𝑚 = 1800$ , calcule a razão $\frac{∆ t_{e}}{∆ t_{p}}$ entre os intervalos de tempo que o elétron e o pósitron, respectivamente, levam para percorrer um arco de circunferência de mesmo comprimento $𝛥 𝑠$ .

c) Na aproximação de Born-Oppenheimer, pode ser feita a hipótese de que o próton permanece em repouso enquanto o elétron gira em torno dele. Utilizando essa hipótese e supondo ainda que a trajetória do elétron seja uma circunferência de raio $𝐷$ , calcule a energia cinética do elétron em termos de $𝑒$ , de $𝐷$ e da constante eletrostática da Lei de Coulomb $k_{0}$ .

Resolução

a) Como se trata de um próton, de carga elétrica positiva, e de um elétron, de carga elétrica negativa, a força eletrostática é atrativa. Devido à terceira lei de Newton, a força $\vec{F}$ , que age no próton, é ação com reação $- \vec{F}$ , oposta, agindo no elétron.

b) Ressalva inicial.

Da maneira como foi posto, este item não pode ser resolvido por possuir informações conflitantes. A razão $M / m = 1.800$ se refere às massas $M$ do próton e $m$ do elétron, e não à razão entre as massas de um pósitron e de um elétron. O pósitron e o elétron são um a antipartícula do outro, e portanto possuem a mesma massa.

Existe um sistema denominado positrônio, composto por um elétron (de massa $m$ e carga $- e$ ) e um pósitron (de massa $m$ e carga $+ e$ ), cada um orbitando o centro de massa do sistema, equidistante de ambos. A figura abaixo, reproduzida de https://en.wikipedia.org/wiki/Positronium, ilustra tal sistema. Nele a razão das massas é igual a 1, pois são iguais uma à outra.

Resolução relevando o erro de digitação do enunciado: no lugar de pósitron, entenda-se próton.

Segundo o enunciado, a quantidade de movimento do sistema próton-elétron é nula, de modo que a soma de suas quantidades de movimento deve resultar zero:

${\vec{Q}}_{p r ó t o n} + {\vec{Q}}_{e l é t r o n} = \vec{0} .$

Como os sentidos das velocidades e, portanto, das quantidades de movimento, das partículas são opostos, podemos escrever que, considerando os módulos,

$Q_{p r ó t o n} - Q_{e l é t r o n} = 0 \Rightarrow Q_{p r ó t o n} = Q_{e l é t r o n} .$

Tomando

$Q_{p r ó t o n} = M \cdot |{\vec{V}}_{p}|, Q_{e l é t r o n} = m \cdot |{\vec{v}}_{e}|,$

encontramos

$M \cdot |{\vec{V}}_{p}| = m \cdot |{\vec{v}}_{e}| \Rightarrow \frac{|{\vec{v}}_{e}|}{|{\vec{V}}_{p}|} = \frac{M}{m} = 1.800 .$

Os tempos para cada partícula percorrer arcos de mesmos comprimentos $Δ s$ são dados por

$Δ t_{e} = \frac{Δ s}{|{\vec{v}}_{e}|}, Δ t_{p} = \frac{Δ s}{|{\vec{V}}_{p}|} .$

Logo, a razão pedida é

$\frac{Δ t_{e}}{Δ t_{p}} = \frac{Δ s / |{\vec{v}}_{e}|}{Δ s / |{\vec{V}}_{p}|} = \frac{|{\vec{V}}_{p}|}{|{\vec{v}}_{e}|} \Rightarrow$

$\frac{Δ t_{e}}{Δ t_{p}} = \frac{1}{|{\vec{v}}_{e}| / |{\vec{V}}_{p}|} = \frac{1}{1.800} .$

c) Considerando o próton fixo, a órbita do elétron possui como força resultante centrípeta a força eletrostática. Em módulo, $F_{c p} = F_{e l}$ , onde a força eletrostática ocorre entre o próton e o elétron, ambos de carga igual a $e$ em módulo.

Aplicando a lei de Coulomb para a força eletrostática, $F_{e l} = k_{0} \frac{e \cdot e}{D^{2}}$ , e escrevendo a força centrípeta como $F_{c p} = m \frac{v^{2}}{D}$ , em que $v$ é a velocidade orbital do elétron, encontramos

$m \frac{v^{2}}{D} = k_{0} \frac{e^{2}}{D^{2}} .$

Para obter a expressão da energia cinética, $E_{c} = m \frac{v^{2}}{2}$ , basta multiplicar a expressão obtida acima por $\frac{D}{2}$ :

$m \frac{v^{2}}{D} \frac{D}{2} = k_{0} \frac{e^{2}}{D^{2}} \frac{D}{2} \Rightarrow$

$m \frac{v^{2}}{2} = k_{0} \frac{e^{2}}{2 D} \Rightarrow$

$E_{c} = k_{0} \frac{e^{2}}{2 D} .$