Questão 6 Fuvest 2024 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 6

Física Moderna Força Magnética Energia Cinética na Dinâmica

O fenômeno da aurora polar, há muito tempo conhecido nos hemisférios norte e sul do planeta Terra, caracteriza-se por um brilho observado no céu em decorrência de colisões entre os átomos da atmosfera, predominantemente oxigênio e nitrogênio, e as partículas (prótons e elétrons) lançadas por erupções solares e canalizadas pelo campo magnético terrestre.

Note e adote:

1eV = 1,6x10⁻¹⁹J; massa do próton = 1,6×10⁻²⁷ kg; massa do elétron = 9×10⁻³¹ kg; carga do elétron = 1,6×10⁻¹⁹ C.

Comprimento de onda da luz verde: λ = 500 nm.

Energia de um fóton de frequência 𝑓: 𝐸 = ℎ𝑓, onde ℎ = 6×10^-34 J.s.

Velocidade da luz no vácuo: 3×10⁸m/s.

Um processo de desexcitação atômica envolve a passagem de um elétron de um nível atômico de energia mais alta para outro de energia mais baixa.

a) Determine a velocidade (em m/s) de um próton com energia cinética de 3,2×10⁻¹³ J.

b) Considerando agora elétrons com velocidade de 1,6×10⁶ m/s e que descrevam órbitas circulares sob ação do campo magnético terrestre, cuja intensidade é de 10⁻⁴ T, calcule o módulo da força magnética atuando sobre cada elétron.

As diferentes cores observadas na aurora devem-se à emissão de fótons em processos de desexcitação de átomos presentes nas diferentes camadas da atmosfera. As cores mais comuns da luz associada a esses fótons são a verde e a vermelha, devido à predominância de oxigênio e nitrogênio nas altitudes de 200 km e 100 km, respectivamente.

c) Calcule (em joules) a variação da energia de um átomo quando este emite um fóton da cor verde.

Resolução

a) A energia cinética de uma partícula de massa m e velocidade v é, por definição:

$E = \frac{m . v^{2}}{2}$

Portanto:

$v^{2} = \frac{2 E}{m} = \frac{2 \cdot 3, 2 \cdot 10^{- 13} J}{1, 6 \cdot 10^{- 27} kg} = 4 \cdot 10^{14} \frac{m^{2}}{s^{2}}$

$v = \sqrt{4 \cdot 10^{14}} \Rightarrow$

$v = 2 \cdot 10^{7} \frac{m}{s} .$

A velocidade do próton seria de $2 \cdot 10^{7} m / s$ .

b) A força magnética atuando em uma carga q que se move com velocidade v perpendicular a um campo magnético $B$ (que é o caso em situações onde a carga em questão descreve uma trajetória circular) é dada por:

$F = q \cdot v \cdot B .$

Com isso, temos:

$F = 1, 6 \cdot 10^{- 19} \cdot 1, 6 \cdot 10^{6} \cdot 10^{- 4} \Rightarrow$

$F = 2, 56 \cdot 10^{- 17} N .$

A força magnética que estaria atuando sobre este elétron possuiria um valor de $2, 56 \cdot 10^{- 17} N$ .

c) Conforme informado no "note e anote" a energia de um fóton é dada por

$E = h \cdot f$ .

A frequência e o comprimento de onda de um fóton estão relacionadas através da equção fundamental da ondulatória:

$c = f \cdot λ \Rightarrow f = \frac{c}{λ} .$

Unindo estas duas equações temos:

$E = \frac{h \cdot c}{λ} .$

Usamos, agora, a informação do "note e anote" segundo a qual o comprimento de onda associaco com a cor verde é de 500 nm = 500.10^-9 m. Usamos, também, a velocidade de propagação da luz no vácuo (c) que nos foi fornecida no "note e anote". Com isso chegamos a:

$E = \frac{h \cdot c}{λ} = \frac{6 \cdot 10^{- 34} \cdot 3 \cdot 10^{8}}{500 \cdot 10^{- 9}} \Rightarrow$

$E = 3, 6 \cdot 10^{- 19} J .$

A variação de energia do átomo seria, portanto, $E = 3, 6 \cdot 10^{- 19} J$ .