Questão 13 Fuvest 2024 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 13

Matrizes Multiplicação de Matrizes

Matrizes podem ser usadas para se obter informações sobre uma rede social. Para compreender como isso pode ser feito, consideremos como exemplo uma pequena rede social formada por 4 pessoas: $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ , $P_{4}$ . A matriz associada a essa rede social é a matriz $4 \times 4$ :

$M = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})$

O valor 1 (um) na posição $a_{32}$ (linha 3, coluna 2) da matriz significa que a pessoa $P_{3}$ segue a pessoa $P_{2}$ , ao passo que o valor $0$ (zero) na posição $a_{24}$ (linha 2, coluna 4) significa que a pessoa $P_{2}$ não segue a pessoa $P_{4}$ . O valor $0$ (zero) será atribuído às posições $a_{i i}$ . O significado do valor da posição $b_{m n}$ da matriz produto $M \times M = M^{2}$ é a quantidade de conexões da pessoa $P_{m}$ até a pessoa $P_{n}$ passando exatamente por uma pessoa, diferente delas duas, que chamaremos de conexão de grau 2.
Dessa forma, os valores das posições da matriz $M^{2}$ podem refletir o alcance da rede social, suas potencialidades e fraquezas, a influência de certos membros dela, dentre outros aspectos.

Com relação à rede social apresentada, é correto afirmar que:

Note e adote:

A posição $b_{m n}$ da matriz produto $M \times M = M^{2}$ é dada pela expressão

$b_{m n} = a_{m 1} a_{1 n} + a_{m 2} a_{2 n} + a_{m 3} a_{3 n} + a_{m 4} a_{4 n}$

a)	Existem 5 pares de pessoas diferentes $(P_{i} \neq P_{j})$ que não possuem conexões de grau 2.
b)	Existem 6 pares de pessoas diferentes $(P_{i} \neq P_{j})$ que possuem apenas uma conexão de grau 2.
c)	Existem 3 pares de pessoas diferentes $(P_{i} \neq P_{j})$ que possuem 2 conexões de grau 2 diferentes.
d)	Existem 3 pessoas que possuem conexões de grau 2 com todas as outras pessoas da rede social.
e)	Existe apenas 1 pessoa $P_{i} (i \neq 3)$ tal que $P_{i}$ e $P_{3}$ seguem-se mutuamente.

Resolução

Dada a matriz $M$ , efetuemos o produto $M \cdot M$ :

$M^{2} = M \cdot M = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}]$

$M^{2} = [\begin{matrix} 0 + 0 + 0 + 1 & 0 + 0 + 0 + 0 & 0 + 1 + 0 + 1 & 0 + 0 + 0 + 0 \\ 0 + 0 + 1 + 0 & 0 + 0 + 1 + 0 & 0 + 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 1 + 0 \\ 0 + 0 + 0 + 1 & 1 + 0 + 0 + 0 & 0 + 1 + 0 + 1 & 1 + 0 + 0 + 0 \\ 0 + 0 + 1 + 0 & 1 + 0 + 1 + 0 & 0 + 0 + 0 + 0 & 1 + 0 + 1 + 0 \end{matrix}]$

$M^{2} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \end{matrix}]$

Com isso, julgamos cada afirmação.

a) Falsa. Excluindo os elementos da diagonal principal (em que $P_{i} = P_{j}$ ), temos 4 pares de pessoas diferentes que não possuem conexões de grau 2:

$M^{2} = [\begin{matrix} 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix}]$

b) Verdadeira. Excluindo os elementos da diagonal principal (em que $P_{i} = P_{j}$ ), temos 6 pares de pessoas diferentes que possuem apenas uma conexão de grau 2.

$M^{2} = [\begin{matrix} 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix}]$

c) Falsa. Excluindo os elementos da diagonal principal (em que $P_{i} = P_{j}$ ), temos 2 pares de pessoas diferentes que possuem duas conexões de grau 2.

$M^{2} = [\begin{matrix} 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix}]$

d) ) Falsa. Excluindo os elementos da diagonal principal (em que $P_{i} = P_{j}$ ), observamos que apenas na linha 3 temos todas as entradas não nulas, ou seja, somente a pessoa 3 possui conexões de grau 2 com todas as outras pessoas da rede social.

$M^{2} = [\begin{matrix} 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix}]$

e) Falsa. Observando as entradas em mesma cor na 3ª linha e na 3ª coluna da matriz $M$ :

$M = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})$

Assim, duas pessoas ( $P_{2}$ e $P_{4}$ ) seguem $P_{3}$ e também são seguidos por $P_{3}$ .