Questão 31 Fuvest 2024 - 1ª fase

Segundo o enunciado temos as seguintes medidas em metros:

Uma vez que a água no tanque ocupava 3/4 de sua altura (diâmetro da base do cilindro) resta portanto 1/4 ($\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.·2=\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\text{ m}$) para a altura do segmento circular.

Perceba que a água utilizada para abastecer a escola se acomoda em um cilindro circular reto seccionado por um plano perpendicular à base.

Na vista lateral é possível destacar um segmento circular:
(Vamos destacar em azul a água que foi retirada do tanque)

Com o triângulo podemos notar o setor circular.

Desta forma, como o raio da circunferência é de $1 \mathrm{m}$, temos a altura do triângulo igual a $1-\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.=\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.\text{ m}$.

Seja $\theta$ a medida do ângulo agudo em destaque:

Temos que:

$\cos \theta =\frac{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}{1}=\frac{1}{2} \Rightarrow \theta =60º$

Logo, o ângulo obtuso do triângulo em questão é de $120º$. Podemos assim calcular a área do segmento circular ($S_{Seg}$) ocupado pela água utilizada na escola subtraindo a área do triângulo destacado ($S_{Tri}$) da área do setor circular ($S_{Set}$).

$S_{Set}=\frac{120}{360}·\mathrm{\pi }·1^2=\frac{\mathrm{\pi }}{3}{\text{ m}}^2$

$S_{Tri}=\frac{1}{2}·1·1·\mathrm{sen}120º=\frac{\sqrt{3}}{4}{\text{ m}}^2$

$S_{Seg}=S_{Set}-S_{Tri}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}{\text{ m}}^2$

Finalmente, para determinar o volume ($V$), basta multiplicar pela altura de $6 m$.

$V=\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4} \right)·6\iff$

$\boxed{V=2\mathrm{\pi }-\frac{3\sqrt{3}}{2}{\text{ m}}^3}$