Questão 34 Fuvest 2024 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 34

Estatística Análise Combinatória

Os conceitos de moda, mediana, média e amplitude definem medidas utilizadas para estudar um conjunto de informações numéricas. Por exemplo, na lista de 5 números (2, 2, 4, 8, 14), temos que a moda é igual a 2, a mediana é igual a 4, a média é igual 6 e a amplitude é igual a 12.

Assinale a alternativa que representa a quantidade de listas de 5 números inteiros positivos que cumprem a condição: moda = mediana = média = amplitude = 23.

a)	8
b)	9
c)	11
d)	22
e)	44

Resolução

Sejam $a, b, c, d$ e $e$ tais que $a \leq b \leq c \leq d \leq e$ os números inteiros que satisfazem a condição em que moda = mediana = média = amplitude = 23.

De imediato temos $c = 23$ , pois como a lista apresenta um número ímpar de termos, a mediana é definida como o termo central (uma vez que os termos estejam em ordem crescente ou decrescente).

Como $23$ é a moda, podemos tomar $b$ ou $d$ iguais a $23$ sem perda de generalidade. Assim, tomemos $d = 23$ .

Da amplitude seque que a diferença entre o maior e o menor termo é $23$ , ou seja:

$e - a = 23$

ou ainda,

$e = 23 + a$ (I)

Já da média aritmética, temos:

$\frac{a + b + c + d + e}{5} = 23$

Substituindo $c$ , $d$ e $e$ :

$\frac{a + b + 23 + 23 + 23 + a}{5} = 23$

$2 a + b = 46$ (II)

Agora, vamos analisar os possíveis casos atribuindo valores para $a$ , no entanto não podemos esquecer de que serão válidos apenas aqueles em que $a < b < e$ .

Note que $a, b$ e $e$ não podem ser iguais já que $e$ supera $a$ em 23 unidades (equação I) e que $46$ não é mútiplo de $3$ (equação II).

$\begin{matrix} a & b & e \\ 23 & 0 & 46 \\ 22 & 2 & 45 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 16 & 14 & 39 \\ 15 & 16 & 38 \\ 14 & 18 & 37 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 9 & 28 & 32 \\ 8 & 30 & 31 \\ 7 & 32 & 30 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 44 & 24 \end{matrix}$

Os resultados válidos são aqueles em que $8 ⩽ a ⩽ 15$ ou seja $a \in {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}$ , como $b$ e $e$ estão expressos como uma função afim de $a$ , podemos inferir que são $8$ possíveis listas que satisfazem a condição.