Questão 59 Fuvest 2024 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 59

Função Logarítmica Função Inversa Função Exponencial

Considere a função 𝑓, dada por 𝑓(𝑥) = 𝑏^𝑥, com 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1 e 𝑥 ∈ ℝ, e a sua inversa 𝑓^-1. A figura destaca dois pontos, um pertencente ao gráfico de 𝑓 e outro ao gráfico de 𝑓^-1. Determine 𝑏 + 𝑘.

a)	$\frac{5}{6}$
b)	1
c)	$\frac{6}{5}$
d)	$\frac{13}{5}$
e)	$\frac{18}{5}$

Resolução

Primeiramente, lembremos que a função exponencial ( $f$ ) está definida para todo $x \in ℝ$ , e tem o eixo das abscissas como assíntota horizontal. Já sua inversa ( $f^{- 1}$ ) terá o eixo das ordenadas como assíntota vertical, estando definida apenas para números reais positivos. Assim, identificamos cada função no gráfico dado:

Para calcularmos a expressão da função inversa ( $f^{- 1}$ ), trocamos $x$ e $y$ de posição na função $f$ dada, e em seguida isolamos $y$ :

$x = b^{y} \Leftrightarrow y = \log_{b} \Leftrightarrow f^{- 1} (x) = \log_{b} x$

Desse modo, temos que os gráficos representam a função exponencial e a função logarítmica (ambas decrescentes, o que só acontece caso $0 < b < 1$ ). Assim, temos que:

(1) a função $f$ passa pelo ponto $(3, \frac{27}{125})$ :

$\frac{27}{125} = b^{3} \Leftrightarrow b = \sqrt[3]{\frac{27}{125}} = \frac{3}{5}$

(2) a função $f^{- 1}$ passa pelo ponto $(\frac{9}{25}, k)$ :

$k = \log_{b} (\frac{9}{25}) = \log_{\frac{3}{5}} {(\frac{3}{5})}^{2} = 2$

Logo, $b + k = \frac{3}{5} + 2 = \frac{13}{5}$ .