Questão 60 Fuvest 2024 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 60

Gráficos de retas (G.A.)

Considere o sistema linear $\{\begin{cases} x + 2 y = 4 \\ 3 x - y = 5 \end{cases}$ . Assinale a alternativa que representa graficamente esse sistema.

a)
b)
c)
d)
e)

Resolução

As equações lineares da forma $y = m x + n$ representam retas no plano cartesiano, de modo que:

(1) $m$ é o coeficiente angular: se $m > 0$ a reta é crescente e se $m < 0$ a reta é decrescente.

(2) $n$ é o coeficiente linear: valor da ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo $y$ .

Dessa forma, podemos analisar as duas equações expostas:

EQUAÇÃO 1:

$x + 2 y = 4 \Leftrightarrow y = - \frac{x}{2} + 2$

COEFICIENTE ANGULAR: $m_{1} = - \frac{1}{2} < 0$ - reta decrescente
COEFICIENTE LINEAR: $n_{1} = 2$ - a reta passa pelo ponto $(0, 2)$

EQUAÇÃO 2:

$3 x - y = 5 \Leftrightarrow y = 3 x - 5$

COEFICIENTE ANGULAR: $m_{2} = 3 > 0$ - reta crescente
COEFICIENTE LINEAR: $n_{2} = - 5$ - a reta passa pelo ponto $(0, - 5)$

E, finalmente, o ponto de intersecção das duas retas é a solução do sistema linear dado. Somando a segunda equação, multiplicada por 2, à primeira, vem que:

$\{\begin{cases} x + 2 y = 4 \\ 3 x - y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 x = 14 \\ 3 x - y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$

Assim, as duas retas se interceptam no ponto $(2, 1)$ .

Logo, a única alternativa que corresponde a essa análise toda é a alternativa E.