Questão 63 Fuvest 2024 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 63

Teorema de Pitágoras Equações e inequações logarítmicas

Uma Árvore Pitagórica é uma figura plana que é construída por etapas. Na Etapa 1, ela começa com um quadrado de lado 1 cm. Na Etapa 2, constroem-se dois quadrados acima do quadrado da Etapa 1, de tal forma que a medida de seus lados seja igual à medida dos catetos do triângulo retângulo isósceles que possui hipotenusa igual ao lado do quadrado da Etapa 1. Na Etapa 3, aplica-se a Etapa 2 em cada um dos novos quadrados obtidos, e assim por diante. Ou seja, em cada nova etapa, aplica-se a etapa anterior em cada um dos novos quadrados obtidos. A figura a seguir exibe as quatro primeiras etapas da construção da Árvore Pitagórica.

^{Domínio público. Disponível em https://commons.wikimedia.org/.}

A partir de qual etapa da construção o lado de cada um dos novos quadrados obtidos fica, pela primeira vez, menor do que 1 décimo de milésimo do lado do quadrado da Etapa 1?

Note e adote:

\log_{10} 2 = 0, 3

a)	26
b)	27
c)	28
d)	29
e)	30

Resolução

O lado $a_{n}$ do quadrado da etapa $n$ se relaciona com o lado $a_{n + 1}$ do quadrado da etapa $n + 1$ da maneira exposta na figura a seguir:

$a_{n} = a_{n + 1} \cdot \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{- \frac{1}{2}}$

Assim, sendo $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ constante, a sequência dos comprimentos dos lados será uma progressão geométrica de razão $q = 2^{- \frac{1}{2}}$ . Portanto, do termo geral da PG:

$a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1} = a_{1} \cdot {(2^{- \frac{1}{2}})}^{n - 1} = a_{1} \cdot 2^{\frac{1 - n}{2}}$

Como queremos que $a_{n} < \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{1000} \cdot a_{1}$ , segue que:

$a_{n} < \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{1000} \cdot a_{1} \Leftrightarrow a_{1} \cdot 2^{\frac{1 - n}{2}} < 10^{- 4} \cdot a_{1}$

Dividindo ambos os membros dessa desigualdade por $a_{1} > 0$ , o sinal da inequação se mantém:

$2^{\frac{1 - n}{2}} < 10^{- 4}$

Como $\log_{10} 2 = 0, 3 \Leftrightarrow 2 = 10^{0, 3}$ , podemos fazer a substituição na inequação. Ficamos com:

${(10^{0, 3})}^{\frac{1 - n}{2}} < 10^{- 4} \Leftrightarrow 10^{0, 3 \cdot (\frac{1 - n}{2})} < 10^{- 4}$

Sendo uma inequação em que a base é maior que 1, passamos para a comparação entre os expoentes mantendo o sinal da inequação:

$0, 3 \cdot (\frac{1 - n}{2}) < - 4 \Leftrightarrow 1 - n < - \frac{8}{0, 3} \Leftrightarrow$

$1 + \frac{80}{3} < n \Leftrightarrow n > 27, 66 . . .$

Assim, o menor valor natural para $n$ é:

$n_{m í n} = 28$