Questão 85 Fuvest 2024 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 85

Sequências

Números figurados são números que expressam o total de pontos em certas configurações geométricas. Um exemplo de números figurados são os triangulares, os quais são números naturais que podem ser representados geometricamente na forma de um triângulo. Os quatro primeiros números triangulares estão ilustrados na figura I. Apesar de o número 1 não representar um triângulo, ele é considerado um número triangular.

Outro exemplo de número figurado é o número oblongo, o qual representa o total de pontos de um quadro retangular em que o número de colunas é uma unidade a mais do que o número de linhas. Os quatro primeiros números oblongos estão ilustrados na figura II. Apesar de o número 2 não representar um quadro retangular, ele é considerado um número oblongo.

A respeito de números triangulares e números oblongos, assinale a alternativa correta.

a)	162 é o 15º número triangular.
b)	O 13º número triangular é primo e o 30º número oblongo é ímpar.
c)	156 não é um número oblongo, nem triangular.
d)	210 é um número triangular e oblongo.
e)	A diferença entre dois números triangulares consecutivos são termos de uma progressão geométrica.

Resolução

Para os números triangulares, conseguimos encontrar o seguinte padrão:

$t_{1} = 1$
$t_{2} = 1 + 2$
$t_{3} = 1 + 2 + 3$
$t_{4} = 1 + 2 + 3 + 4$

Note, a partir disso, que cada número triangular $t_{n}$ é obtido somando os números naturais de $1$ até $n$ , que é a sua posição. Ou seja, temos a soma da PA:

$t_{n} = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{(1 + n) \cdot n}{2} = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$

Para os números oblongos, conseguimos encontrar o seguinte padrão:

$o_{1} = 2 \cdot 1$
$o_{2} = 3 \cdot 2$
$o_{3} = 4 \cdot 3$
$o_{4} = 5 \cdot 4$

Note, a partir disso, que cada número oblongo $n$ é obtido multiplicado o número de linhas $n$ pelo número de colunas $n + 1$ . Ou seja:

$o_{n} = (n + 1) \cdot n$

Vamos julgar agora cada alternativa.

a) Falsa.

$t_{15} = \frac{(15 + 1) \cdot 15}{2} = 120$

b) Falsa.

$t_{13} = \frac{(13 + 1) \cdot 13}{2} = 7 \cdot 13$ , ou seja, um número composto (não primo)
$o_{30} = (30 + 1) \cdot 30 = 930$ (par)

c) Falsa.

$156 = 13 \cdot 12 = (12 + 1) \cdot 12 = o_{12}$ ,

ou seja, 156 é um número oblongo. Por outro lado, 156 realmente não é um número triangular, pois a igualdade

$\frac{n \cdot (n + 1)}{2} = 156 \Leftrightarrow n^{2} + n - 312 = 0$

não tem solução $n$ natural.

d) Verdadeira.

$t_{20} = \frac{(20 + 1) \cdot 20}{2} = 210$
$o_{14} = (14 + 1) \cdot 14 = 210$

e) Falsa.

Temos que:

$d_{n} = t_{n + 1} - t_{n} = \frac{(n + 1 + 1) \cdot (n + 1)}{2} - \frac{(n + 1) \cdot n}{2} = (\frac{n^{2} + 3 n + 2}{2}) - (\frac{n^{2} + n}{2}) = n + 1$

Assim, $d_{n}$ é uma progressão aritmética, mas não uma progressão geométrica, pois, por exemplo:

$\frac{d_{2}}{d_{1}} = \frac{2 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2}$ e $\frac{d_{3}}{d_{2}} = \frac{3 + 1}{2 + 1} = \frac{4}{3}$ ,

ou seja, a razão entre termos consecutivos não fica constante.