Questão 137 Enem 2023 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 137

Relações Métricas e Trigonométricas no Triângulo Retângulo

O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto $P$ do mastro, a uma altura $h$ do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.

Os cabos de aço formam um ângulo $α$ com o plano do chão.

Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:

opção I: $h$ = $11 m$ e $α = 30 °$
opção II: $h$ = $12 m$ e $α = 45 °$
opção III: $h$ = $18 m$ e $α = 60 °$

A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível.

Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?

a)	$\frac{22 \sqrt{3}}{3}$
b)	$11 \sqrt{2}$
c)	$12 \sqrt{2}$
d)	$12 \sqrt{3}$
e)	22

Resolução

Chamemos de $x$ , $y$ e $z$ as medidas dos cabos em cada uma das opções I, II e III, respectivamente

Perceba que podemos determinar $x$ , $y$ e $z$ através do seno do ângulo no respectivo triângulo.

$sen 30 ° = \frac{11}{x} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{11}{x} \Rightarrow x = 22 m$

$sen 45 ° = \frac{12}{y} \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{12}{y} \Rightarrow y = 12 \sqrt{2} m$

$sen 60 ° = \frac{18}{z} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{18}{z} \Rightarrow z = 12 \sqrt{3} m$

Considerando aproximações $\sqrt{2} \approx 1, 41$ e $\sqrt{3} \approx 1, 73$ , encontramos

$y = 12 \sqrt{2} \approx 16, 92 m$

$z = 12 \sqrt{3} \approx 20, 76 m$

Como queremos aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível, temos que a medida de cada um será $12 \sqrt{2}$ metros.