Questão 147 Enem 2023 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 147

Ângulos na Circunferência

Num certo momento de um jogo digital, a tela apresenta a imagem representada na figura. O ponto $Q_{1}$ representa a posição de um jogador que está com a bola, os pontos $Q_{2}$ , $Q_{3}$ , $Q_{4}$ , $Q_{5}$ e $Q_{6}$ também indicam posições de jogadores da mesma equipe, e os pontos $A$ e $B$ indicam os dois pés da trave mais próxima deles. No momento da partida retratado, o jogador $Q_{1}$ tem a posse da bola, que será passada para um dos outros jogadores das posições $Q_{n}$ , $n \in {2, 3, 4, 5, 6}$ , cujo ângulo $A \hat{Q_{n}} B$ tenha a mesma medida do ângulo $α = A \hat{Q_{1}} B$ .

Qual é o jogador que receberá a bola?

a)	$Q_{2}$
b)	$Q_{3}$
c)	$Q_{4}$
d)	$Q_{5}$
e)	$Q_{6}$

Resolução

Em uma circunferência de centro $O$ , dada uma corda $\bar{A B}$ qualquer, um observador que percorre o arco maior $\overset{⏜}{A B}$ da circunferência consegue enxergar a corda $\bar{A B}$ sempre sob um mesmo ângulo $α$ . Este arco chama-se arco capaz do ângulo $α$ sob o segmento $\bar{A B}$ .

Na ilustração do enunciado, repare que o ângulo $α$ é estritamente menor que os ângulos $\hat{A Q_{2} B}$ e $\hat{A Q_{4} B}$ , pois é ângulo excêntrico exterior às circunferências que contêm os pontos $Q_{2}$ e $Q_{4}$ .

De modo análogo, os ângulos $\hat{A Q_{5} B}$ e $\hat{A Q_{6} B}$ são estritamente menores que o ângulo $α$ , por serem ângulos excêntricos exteriores à circunferência que contém o ponto $Q_{1}$ .

Por fim, note que os jogadores nas posições $Q_{1}$ e $Q_{3}$ estão na mesma circunferência e que ambos pertencem ao arco capaz do ângulo $α$ sob o segmento $\bar{A B}$ . Portanto, podemos afirmar que o jogador na posição $Q_{3}$ receberá a bola.