Questão 152 Enem 2023 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 152

Sequências

Os números figurados pentagonais provavelmente foram introduzidos pelos pitagóricos por volta do século V a.C. As figuras ilustram como obter os seis primeiros deles, sendo os demais obtidos seguindo o mesmo padrão geométrico.

O oitavo número pentagonal é

a)	59.
b)	83.
c)	86.
d)	89.
e)	92.

Resolução

Seja $p_{n}$ o $n$ -ésimo número pentagonal. Do enunciado, temos:

$\begin{matrix} p_{1} = 1 \\ p_{2} = p_{1} + 4 = 5 \\ p_{3} = p_{2} + 7 = 12 \\ p_{4} = p_{3} + 10 = 22 \\ p_{5} = p_{4} + 13 = 35 \\ p_{6} = p_{5} + 16 = 51 \end{matrix}$

Mantendo-se o mesmo padrão geométrico para a construção dos demais números pentagonais, temos:

$p_{7} = p_{6} + 19 = 70$

e, portanto,

$p_{8} = p_{7} + 22 = 70 + 22 \Rightarrow$ $p_{8} = 92$ .