Questão 155 Enem 2023 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 155

Equações e Inequações

Um pescador tem um custo fixo diário de R$ 900,00 com combustível, iscas, manutenção de seu barco e outras pequenas despesas. Ele vende cada quilograma de peixe por R$ 5,00. Sua meta é obter um lucro mínimo de R$ 800,00 por dia. Sozinho, ele consegue, ao final de um dia de trabalho, pescar 180 kg de peixe, o que é suficiente apenas para cobrir o custo fixo diário. Portanto, precisa contratar ajudantes, pagando para cada um R$ 250,00 por dia de trabalho. Além desse valor, 4% da receita obtida pela venda de peixe é repartida igualmente entre os ajudantes. Considerando o tamanho de seu barco, ele pode contratar até 5 ajudantes. Ele sabe que com um ajudante a pesca diária é de 300 kg e que, a partir do segundo ajudante contratado, aumenta-se em 100 kg a quantidade de peixe pescada por ajudante em um dia de trabalho.

A quantidade mínima de ajudantes que esse pescador precisa contratar para conseguir o lucro diário pretendido é

a)	1.
b)	2.
c)	3.
d)	4.
e)	5.

Resolução

Com ajudante, a receita obtida pelo pescador em relação a venda dos peixes é $96 %$ do total, pois $4 %$ é repartido entre os ajudantes. Como cada quilograma de peixe é vendido por $R $ 5, 00$ e sendo $x$ a quantidade de quilogramas vendidos, logo a função receita:

$R (x) = 0, 96 \cdot 5 \cdot x = 4, 8 \cdot x$

O custo será formado por um valor fixo de $R $ 900, 00$ e $R $ 250, 00$ por ajudante por dia de trabalho, sendo $n$ o número de ajudantes, tem-se a função custo:

$C (n) = 900 + 250 \cdot n$

A quantidade de quilogramas de peixe obtido na pesca depende da quantidade de ajudantes. Se apenas um ajudante for contratado, a quantidade de quilogramas será $300 kg$ . Se mais ajudantes forem contratados, aumenta-se em $100 kg$ a quantidade de peixe pescada por ajudante por dia de trabalho, logo:

$x (n) = \{\begin{cases} 300, s e n = 1 \\ 300 + 100 (n - 1), s e 1 < n \leq 5 \end{cases} \Rightarrow x (n) = \{\begin{cases} 300, s e n = 1 \\ 200 + 100 n, s e 1 < n \leq 5 \end{cases}$

Buscamos $n$ para que o lucro seja no mínimo $R $ 800, 00$ . Para isso vamos analisar dois casos:

Para 1 ajudante:
$4, 8 \cdot 300 - (900 + 250) = 290 < 800$

Logo, para 1 ajudante o pescador não irá obter o lucro pretendido.

Para mais do que 1 ajudante:

$4, 8 \cdot x - (900 + 250 \cdot n) ⩾ 800$

$4, 8 \cdot (200 + 100 \cdot n) - 900 - 250 \cdot n ⩾ 800$

$960 + 480 \cdot n - 900 - 250 \cdot n ⩾ 800$

$230 \cdot n ⩾ 740 \Rightarrow n ⩾ 3, 2 \Rightarrow n = 4$

Portanto, o pescador deverá contratar 4 ajudantes.