Questão 156 Enem 2023 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 156

Equações e inequações exponenciais

Um agricultor é informado sobre um método de proteção para sua lavoura que consiste em inserir larvas específicas, de rápida reprodução. A reprodução dessas larvas faz com que sua população multiplique-se por 10 a cada 3 dias e, para evitar eventuais desequilíbrios, é possível cessar essa reprodução aplicando-se um produto X. O agricultor decide iniciar esse método com 100 larvas e dispõe de 5 litros do produto X, cuja aplicação recomendada é de exatamente 1 litro para cada população de 200 000 larvas. A quantidade total do produto X de que ele dispõe deverá ser aplicada de uma única vez.

Quantos dias após iniciado esse método o agricultor deverá aplicar o produto X?

a)	2
b)	4
c)	6
d)	12
e)	18

Resolução

Temos que a cada 3 dias a população é multiplicada por 10. Podemos modelar o problema por uma função expoencial, de base 10 e exponente igual a $\frac{n}{3}$ , tal que $n$ é o número de dias. Como o valor inicial é 100 larvas, tem-se que:

$P (n) = 100 \cdot 10^{\frac{n}{3}}$

Sabemos que 1 litro do produto X é recomendado para cada $200 000$ larvas, logo 5 litros controla a reprodução de $5 \cdot 200 000 = 1 000 000 = 10^{6}$ larvas.

Buscamos $n$ , tal que $P (n) \leq 10^{6}$ , ou seja:

$100 \cdot 10^{\frac{n}{3}} \leq 10^{6}$

$10^{\frac{n}{3} + 2} \leq 10^{6}$ ,

como a base da exponencial é maior do que 1, tem-se que:

$\frac{n}{3} + 2 \leq 6$

$\frac{n}{3} \leq 4$

$n \leq 12$

Portanto, o agricultor deverá aplicar o produto 12 dias após o início do método de proteção.